Question

如圖所示，在第一、二象限存在場強均為E的勻強電場，其中第一象限的勻強電場的方向沿x軸正方向，第二象限的電場方向沿x軸負方向。在第三、四象限矩形區域ABCD內存在垂直于紙面向外的勻強磁場，矩形區域的AB邊與x軸重合。M是第一象限中無限靠近y軸的一點，在M點有一質量為m、電荷量為e的質子，以初速度v₀沿y軸負方向開始運動，恰好從N點進入磁場，若，不計質子的重力，試求：

（1）N點橫坐標d；
（2）若質子經過磁場最后能無限靠近M點，則矩形區域的最小面積是多少；
（3）在（2）的前提下，該質子由M點出發返回到無限靠近M點所需的時間。

Answer 1

（1）　　（2）   （3）

試題分析：（1）粒子從M點到N點做類平拋運動，沿x軸正方向做勻加速運動，沿y軸負方向做勻速直線運動，設運動時間為t₁，則由平拋運動規律得：
在x軸方向上有　在y軸方向上有：
根據牛頓第二定律得：
以上各式聯立解得：，
（2）根據運動的對稱性作出質子的運動軌跡如圖所示

設粒子到達N點時沿x軸正方向分速度為v_x，則，即
質子進入磁場時的速度大小為
由幾何關系知：質子進入磁場時速度方向與x軸正方向夾角為45^o
質子在磁場中做圓周運動的半徑為
AB邊的最小長度為
BC邊的最小長度為
所以矩形區域的最小面積為
（3）由幾何關系知：質子在磁場中運動的圓心角為，運動時間
根據線速度的定義知：
根據對稱性，質子在第二象限運動時間與在第一象限運動時間相等，質子在第一象限運動時間
所以該質子由M點出發返回到無限靠近M點所需的時間為：