Question

如圖所示，在光滑水平地面上，有一質(zhì)量m₁=4.0kg的平板小車(chē)，小車(chē)的右端有一固定的豎直擋板，擋板上固定一輕質(zhì)細(xì)彈簧．位于小車(chē)上A點(diǎn)處質(zhì)量m₂=1.0kg的木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）與彈簧的左端相接觸但不連接，此時(shí)彈簧與木塊間無(wú)相互作用力．木塊與A點(diǎn)左側(cè)的車(chē)面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.40，木塊與A點(diǎn)右側(cè)的車(chē)面之間的摩擦可忽略不計(jì)．現(xiàn)小車(chē)與木塊一起以v₀=2.0m/s的初速度向右運(yùn)動(dòng)，小車(chē)將與其右側(cè)的豎直墻壁發(fā)生碰撞，已知碰撞時(shí)間極短，碰撞后小車(chē)以v₁=1.0m/s的速度反向彈回，已知重力加速度g取10m/s²，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．求：
（1）小車(chē)撞墻后彈簧的最大彈性勢(shì)能；
（2）要使木塊最終不從小車(chē)上滑落，則車(chē)面A點(diǎn)左側(cè)粗糙部分的長(zhǎng)度應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

（1）小車(chē)與墻壁碰撞后向左運(yùn)動(dòng)，木塊與小車(chē)間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)將彈簧壓縮至最短時(shí)，二者速度相等，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，此過(guò)程中，二者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)彈簧壓縮至最短時(shí)，小車(chē)和木塊的速度大小為v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：
m₁v₁-m₂v₀=（m₁+m₂）v…①
解得v=0.40m/s…②
設(shè)最大的彈性勢(shì)能為E_P，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得
E_P=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₀²-

1

2

（m₁+m₂）v²…③
由②③得E_P=3.6J…④
（2）根據(jù)題意，木塊被彈簧彈出后滑到A點(diǎn)左側(cè)某處與小車(chē)具有相同的速度v’時(shí)，木塊將不會(huì)從小車(chē)上滑落，此過(guò)程中，二者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
故有v’=v═0.40m/s…⑤
木塊在A點(diǎn)右側(cè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，而在A點(diǎn)左側(cè)相對(duì)滑動(dòng)過(guò)程中將克
服摩擦阻力做功，設(shè)此過(guò)程中滑行的最大相對(duì)位移為L(zhǎng)，根據(jù)功能關(guān)系有
μm₂gL=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₀²-

1

2

（m₁+m₂）v’²…⑥
解得L=0.90m…⑦
即車(chē)面A點(diǎn)左側(cè)粗糙部分的長(zhǎng)度應(yīng)大于0.90m
答：（1）小車(chē)撞墻后彈簧的最大彈性勢(shì)能3.6J．
（2）要使木塊最終不從小車(chē)上滑落，則車(chē)面A點(diǎn)左側(cè)粗糙部分的長(zhǎng)度應(yīng)大于0.90m．