Question

（19分）如圖所示，正方形單匝均勻線框abcd邊長L=0.4m，每邊電阻相等，總電阻R=0.5Ω。一根足夠長的絕緣輕質細線跨過兩個輕質光滑定滑輪，一端連接正方形線框，另一端連接絕緣物體P，物體P放在一個光滑的足夠長的固定斜面上，斜面傾角θ=30°，斜面上方的細線與斜面平行。在正方形線框正下方有一有界的勻強磁場，上邊界I和下邊界II都水平，兩邊界之間距離也是L=0.4m。磁場方向水平且垂直紙面向里，磁感應強度大小B=0.5T。現讓正方形線框的cd邊距上邊界I的正上方高度h=0.9m的位置由靜止釋放，且線框在運動過程中始終與磁場垂直，cd邊始終保持水平，物體P始終在斜面上運動，線框剛好能以v=3m/s的速度進入并勻速通過磁場區域。釋放前細線繃緊，重力加速度 g=10m/s²，不計空氣阻力。

(1) 線框的cd邊在勻強磁場中運動的過程中，c、d 間的電壓是多大？
(2) 線框的質量m₁和物體P的質量m₂分別是多大？
(3) 在cd邊剛進入磁場時，給線框施加一個豎直向下的拉力F使線框以進入磁場前的加速度勻加速通過磁場區域，在此過程中，力F做功W =0.23J，求正方形線框cd邊產生的焦耳熱是多少？

Answer 1

（1）0.45V；（2）m₁=3.2×10^-2kg，m₂=1.6×10^-2kg；（3）5.75×10^-2J；

試題分析：（1）正方形線框勻速通過勻強磁場區域的過程中，設cd邊上的感應電動勢為E，線框中的電流強度為I，c、d間的電壓為U_cd，則  E=BLv        （1分）
由歐姆定律，得I＝E/R             （1分）
U_cd=3IR/4         （1分）
解得  U_cd=0.45V         （1分）
（2）正方形線框勻速通過磁場區域的過程中，設受到的安培力為F，細線上的張力為T，則
F=BIL        （1分）
T=m₂gsinθ       （1分）
m₁g=T+F          （1分）
正方形線框在進入磁場之前的運動過程中，根據能量守恒，則
m₁gh?m₂ghsinθ＝(m₁+m₂)v²         （4分）
解得m₁=3.2×10^-2kg，m₂=1.6×10^-2kg         （2分）
（3）因為線框在磁場中運動的加速度與進入前的加速度相同，所以在通過磁場區域的過程中，線框和物體P的總機械能保持不變，故力F做功W等于整個線框中產生的焦耳熱Q，即
W=Q        （3分）
設線框cd邊產生的焦耳熱為Q_cd，根據Q=I²Rt得  Q_cd＝Q/4    （2分）
解得Q_cd=5.75×10^-2J           （1分）