Question

（2010?如皋市模擬）如圖所示，質量為M的長滑塊靜止在光滑水平地面上，左端固定一勁度系數為k足夠長的水平輕質彈簧，右側用一不可伸長的細繩連接于豎直墻上，細繩所能承受的最大拉力為FT，使一質量為m、初速度為Vo的小物體，在滑塊上無摩擦地向左滑動而后壓縮彈簧，已知彈簧的彈性勢能表達式為E_p=kx²*1/2（k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量）．
（1）請給出細繩被拉斷的條件．
（2）若小物體最后離開滑塊時，相對地面速度恰好為零，那么m與M間應滿足什么關系？（不考慮繩斷裂時損失的能量）

Answer 1

分析：（1）假設繩子不斷，當滑塊速度減為零時，彈性勢能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據機械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）滑塊與長木板分離后，速度恰好為零，根據動量守恒定律和機械能守恒定律列式后聯立求解即可．

解答：解：（1）設彈簧壓縮量為x₁時繩被拉斷：知
kx₁=F_T
從初始狀態到壓縮繩被拉斷的過程中，

1

2

kx

2 1

≤

1

2

mv

2 0

故細繩被拉斷的條件為 v₀≥

FT

km

（2）設繩被拉斷瞬間，小物體的速度為v₁，
對小物體與彈簧在此過程中機械能守恒，有

1

2

kx

2 1

+

1

2

mv

2 1

=

1

2

mv

2 0

設小物體離開時，滑塊M速度為v，
對M、m系統，在繩斷后相對滑動過程中動量守恒 可知：mv₁=Mv
m-M=

F 2 T

kv 2 0

對系統在全過程中由能量守恒可知：

1

2

mv

2 0

=

1

2

Mv

2

聯立可得：m＞M．
所以小物體最后離開滑塊時，相對地面速度恰好為零的條件是m＞M且滿足m-M=

F 2 T

kv 2 0

答：（1）細繩被拉斷的條件為 v₀≥

FT

km

．
（2）小物體最后離開滑塊時，相對地面速度恰好為零的條件是m＞M且滿足m-M=

F 2 T

kv 2 0

．

點評：本題關鍵要分析清楚滑塊和滑板的運動規律，能結合機械能守恒定律和動量守恒定律多次列式后聯立分析，較難．