Question

用磁聚焦法測比荷的裝置如圖所示．在真空玻璃管中裝有熱陰極K和帶有小孔的陽極A．在A、K之間加上電壓U后，不斷地有電子從陰極K由靜止加速到達陽極A，并從小孔射出．接著電子進入平行板電容器C，電容器兩極板間加有不大的交變電場，使不同時刻通過的電子發生不同程度的偏轉；電容器C和熒光屏S之間加一水平向右的均勻磁場，電容器和熒光屏間的距離為L，電子經過磁場后打在熒光屏上，將磁場的磁感應強度從零開始緩慢增大到為B時，熒光屏上的光點的銳度最大（這時熒光屏S上的亮斑最小）．
（1）若平行板電容器C的板長為

L

4

，求電子經過電容器和磁場區域的時間之比；
（2）用U、B、L表示出電子的比荷；
（3）在磁場區域再加一勻強電場，其電場強度的大小為E=

U

L

，方向與磁場方向相反，若保持U、L和磁場方向不變，調節磁場的磁感應強度大小，仍使電子在熒光屏上聚焦，則磁感應強度大小滿足的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）首先要通過題意判斷出電子在電容器中運動時水平方向上的速度不變，電子進入磁場后要做等距螺旋運動，在水平方向速度不變，且與在電容器間運動時的水平速度相等，從而可知在這兩種區域內的運動時間關系．
（2）電子首先在加速電場中加速，由能量的轉化守恒可知電子進入電容器時的速度，在電容器內部做較復雜的曲線運動，都是在水平方向速度不變；進入磁場時，速度與磁場有夾角，電子做等距螺旋運動，由運動的特征可知圓周運動的周期是相同的．當電子正好在磁場中運動一個周期的情況時，銳度最大．
（3）在磁場中加上與磁場相反的電場后，電子受到了水平向右的電場力，在是水平方向上，電子做勻加速運動，由能量可知電子達到S屏是的速度；由平均速度可求出在復合場中的運動時間，要使電子在熒光屏上聚焦，運動時間就應是做圓周運動的周期的整數倍．

解答：解：
（1）由題意可知電子在電場和磁場中均沿水平方向做勻速直線運動且水平方向上的速度相同，所以時間之比為1：4
（2）在加速電場中，由能量的轉化與守恒有：
Ue=

1

2

mv2
電子在電容器間運動會發生一定的偏轉，故進入磁場時速度與磁場方向會有一定的夾角，所以在磁場中運動的軌跡為螺旋線，水平速度均相同，圓周運動的周期也相同，要使得銳度最大則應滿足：

L

v

=

2πm

eB

聯立解得

e

m

=

8π2U

L2B2

（3）在K、A間，Ue=

1

2

mv2
設打在S上的水平方向速度為v'，Ue+ELe=

1

2

mv′2
設電子在復合場中的時間為t，電子在復合場中沿水平方向做勻加速運動，t=

L

. v

=

2L

v+v′

要使得銳度最大則應滿足：t=n

2πm

eB′

（n=1、2、3…）  
解得：B′=

( 2 +1)

2

nB（n=1、2、3…）
答：（1）電子經過電容器和磁場區域的時間之比為1：4；
    （2）電子的比荷為

8π2U

L2B2

；
    （3）磁感應強度大小應為

( 2 +1)

2

nB（n=1、2、3…）．

點評：此題是一道質量非常高的題，既考察了電子在靜電場中的加速，又考察了電子垂直于電場方向進入交變電場后的運動特征，還考察了電子在勻強磁場中做等距螺旋運動的特征．
解答此題的關鍵首先是正確分析在各個過程中的運動規律和特點，了解速度的變化，結合能量、運動學公式和牛頓運動定律進行解題．
帶電粒子在復合場運動，若帶電粒子所受合外力不斷變化且與粒子的速度不在一條直線時，粒子將做較復雜的曲線運動，解決此類問題通常用能量的觀點解決．