Question

（2012?茂名一模）如圖所示，五塊完全相同的長木板依次緊挨著放在水平地面上，每塊木板的長度為L=0.5m，質量為M=0.6kg．在第一塊長木板的最左端放置一質量為m=0.98kg的小物塊．已知小物塊與長木板間的動摩擦因數為μ₁=0.2，長木板與地面間的動摩擦因數為μ₂=0.1，設最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等．一顆質量為m₀=0.02kg的子彈以的υ₀=150m/s水平速度擊中小物塊并立即與小物塊一起在長木板表面滑行，重力加速度g取10m/s²．
（1）分析小物塊滑至哪塊長木板時，長木板才開始在地面上滑動．
（2）求物塊在整個運動過程中相對出發點滑行的最大距離s．

Answer 1

分析：通過對長木板的受力分析知，滑塊給長木板的摩擦力水平向右，地面給長木板的摩擦力水平向左，當滑塊對木板的摩擦力大于地面對長木板的摩擦力時，長木板開始運動；能根據動量定理和動能定理判定物塊的滑動，并列式求解．

解答：解：（1）由題意子彈、小物塊、長木板的質量分別為m₀、m、M，子彈的初速度為v₀，子彈擊中小物塊后二者的共同速度為v₁，由動量守恒定律得：
m₀v₀=（m+M）v₁ …①
子彈擊中小物塊后物塊的質量為M′，且M′=m+m₀．設當物塊滑至第n塊木板時，木板才開始運動，則滿足：
μ₁M′g＞μ₂[M′+（6-n）M]g…②
其中μ₁、μ₂分別表示物塊與木板間、木板與地面間的動摩擦因數．
由②式解得n＞4.3
即物塊滑上第五塊木板時，木板才開始在地面上滑動．
（2）設物塊剛滑上第五塊木板時的速度為v₂，每塊木板的長度為L，由動能定理
-μ₁ M′g×4L=

1

2

M′

v

2 2

-

1

2

M′

v

2 1

…③
由①③式解得　v₂=1m/s
物塊在第五塊木板表面做勻減速直線運動，木板做勻加速直線運動，設經歷時間t，物塊與木板能獲得相同的速度v₃，由動量定理
-μ₁ M′gt=M′v₃-M′v₂…⑤
〔μ₁ M′g-μ₂（M′+M）g〕t=Mv₃…⑥
由⑤⑥式解得v₃=0.25m/s
在此過程中，物塊發生的位移為s₁，由動能定理
-μ₁ M′g s₁=

1

2

M′

v

2 3

-

1

2

M′

v

2 2

                   
可解得s₁=

15

64

m＜0.5m
即物塊與木板獲得0.25m/s的共同速度，之后整體向前勻減速運動s₂后靜止．
由動能定理
-μ2 （M′+M）g s₂=-

1

2

（M′+m）

v

2 3

解得s₂=

1

32

m
所以物塊總共發生的位移s=4L+s1+s2
解得s≈2.27m
答：（1）經分析小物塊滑至第5塊長木板時，長木板才開始在地面上滑動；
（2）物塊在整個運動過程中相對出發點滑行的最大距離s=2.27m．

點評：能正確判斷長木板開始運動的條件是滑塊給長木板的摩擦力大于地面對長木板的摩擦力，并能根據摩擦力的表達式列出不等式進行求解，木塊滑動的距離可以根據滑塊的運動結合動能定理求解；熟練使用動能定理和動量定理是解決本題的關鍵．