Question

（2007?海淀區一模）右圖是一個非常有趣的實驗現象的示意圖．將一個小皮球放在一個大皮球的上面，使它們一起自由下落，當它們落到地面被反彈時，小球跳的高度會比下落的高度高出許多倍，往往會打到天花板上．假設大球的半徑R=10cm，小球的半徑r=2.5cm．開始下落時大球球心O₁距地面的高度h=0.90m，大球的質量為m₁，小球的質量為m₂，且m₁=19m₂．在整個運動過程中兩球的球心始終在同一條豎直線上，所有碰撞的時間極短，且能量損失均可忽略不計，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小球第一次反彈后，小球的球心會上升到距地面多高的位置？
（2）若天花板距地面的高度H=4.25m，則小球碰到天花板的瞬時速度為多大？

Answer 1

分析：（1）先根據運動學公式求出大球碰地前瞬間的速度．由于碰撞的時間極短，且能量損失不計，所以大球碰地后以原速率反彈，與小球發生彈性，根據動量守恒和機械能守恒列式求出碰后兩球的速度，再由運動學公式求出小球上升的高度．
（2）若天花板距地面的高度H=4.25m，再由運動學公式求解小球碰到天花板的瞬時速度．

解答：解：（1）設大球碰地瞬間兩球的速度為v₀，則有

v

2 0

=2g（h-R）
解得，v₀=4m/s
因碰撞的時間極短，且能量損失不計，所以大球碰地后以原速率反彈，速度大小為4m/s，方向豎直向上．設大球與小球碰撞后兩者的速度分別為v₁和v₂，取向上方向為正方向，根據動量守恒和機械能守恒得
   （m₁-m₂）v₀=m₁v₁+m₂v₂，
  

1

2

m1

v

2 0

+

1

2

m2

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

解得v₂=11.2m/s
則小球能上升的最大高度為H₁=

v 2 2

2g

=6.272m
所以小球的球心會上升到距地面的高度為H₂=H₁+2R+r=≈6.5m
（2）若天花板距地面的高度H=4.25m，小球上升的高度為h′=H-2R-2r=4m
設小球碰到天花板的瞬時速度為v
由運動學公式得：v2-

v

2 2

=-2gh′
解得v=6.7m/s
（1）小球第一次反彈后，小球的球心會上升到距地面6.5m高的位置．
（2）若天花板距地面的高度H=4.25m，則小球碰到天花板的瞬時速度為6.7m/s．

點評：本題要分過程研究，把握每個過程的規律，抓住碰撞過程動量守恒和機械能守恒是關鍵．