Question

【題目】如圖，坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)，以O為圓心半徑分別為R、2R、3R的圓弧ab、cd、ef及兩坐標(biāo)軸圍成I、II、III三個(gè)區(qū)域。I、II區(qū)域中存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中I區(qū)域的磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向外、II區(qū)域的磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向里。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以某一初速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿+y方向射入磁場(chǎng)，與弧ab交點(diǎn)的坐標(biāo)為。求：

(1)粒子的初速度大小；

(2)粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到弧cd經(jīng)歷的時(shí)間t；

(3)若III區(qū)域中也存在垂直坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，為使粒子不能從弧ef上射出磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足的條件。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)當(dāng)B垂直向里時(shí)， ；當(dāng)B垂直向外時(shí)，

【解析】試題分析：（1）根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解速度；（2）畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡過程圖，利用所轉(zhuǎn)過的弧長除以速度大小即可求出粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（3）由于磁場(chǎng)方向不確定，故存在兩種情況，分情況討論，當(dāng)III區(qū)域的磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向外和垂直坐標(biāo)平面向里兩種情況，找到臨界條件，即軌跡與III區(qū)域的外邊界相切，用洛倫茲力提供向心力與臨界幾何關(guān)系結(jié)合即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．

(1)如圖所示

由幾何關(guān)系知，粒子在區(qū)域I中運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑為

設(shè)粒子的初速度大小為v，由牛頓第二定律得：

聯(lián)立解得：

（2）粒子在I區(qū)域的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則有：

進(jìn)入II區(qū)域后，粒子運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)方向改變，但軌跡半徑不變。軌跡與弧cd的交點(diǎn)C與A、O在一條直線上，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

則粒子在I、II兩區(qū)域的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角相等，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等

故粒子從O到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

整理得：

（3）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度沿+y方向，由幾何關(guān)系可知C點(diǎn)的坐標(biāo)為

若區(qū)域的磁場(chǎng)方向向里，粒子恰好從e點(diǎn)經(jīng)過時(shí)，軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系知：

整理得：

則：

若III區(qū)域中的磁場(chǎng)方向向外，粒子的軌跡恰好與弧ef相切時(shí)，軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系知：

整理得：

則有：

為保證粒子不能從弧ef上射出磁場(chǎng)：

當(dāng)III區(qū)域的磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向里時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度須滿足

當(dāng)III區(qū)域的磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向兇時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度須滿足