Question

（08上海卷）24．（14分）如圖所示，豎直平面內有一半徑為r、內阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬球，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁＝12R，R₂＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B。現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環及軌道接觸良好，高平行軌道中夠長。已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂。

（1）求導體棒ab從A下落r/2時的加速度大小。

（2）若導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R₂上的電功率P₂。

（3）若將磁場II的CD邊界略微下移，導體棒ab剛進入磁場II時速度大小為v₃，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關系式。

Answer 1

解析：（1）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生產生感應電動勢，導體棒ab從A下落r/2時，導體棒在策略與安培力作用下做加速運動，由牛頓第二定律，得

mg－BIL＝ma，式中l＝r

式中　　＝4R

由以上各式可得到

（2）當導體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即

式中　　

解得      

導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有

得　　

此時導體棒重力的功率為

根據能量守恒定律，此時導體棒重力的功率全部轉化為電路中的電功率，即

＝

所以，＝

（3）設導體棒ab進入磁場II后經過時間t的速度大小為，此時安培力大小為

由于導體棒ab做勻加速直線運動，有

根據牛頓第二定律，有

F＋mg－F′＝ma

即　　

由以上各式解得