Question

2013年12月15日“嫦娥三號”探測器成功實現“月面軟著陸”．若著陸的最后階段可簡化為三個過程：①探測器從月球表面附近高為H處開始勻減速豎直下降至靜止；②懸停（即處于靜止狀態）；③自由下落至月球表面．為了保證探測器的安全，要求探測器到達月球表面的速度不能超過v_m，月球表面附近的重力加速度為g₀，探測器在減速過程中每秒鐘消耗的燃料為△m=pa+q（a為探測器勻減速下降的加速度大小，p、q為大于零的常數）．忽略探測器因消耗燃料而引起的質量變化．
（1）求探測器懸停位置距月球表面的最大高度h_m；
（2）若在（1）中懸停最大高度h_m不變的情況下，為使探測器減速下降過程中消耗的燃料質量最少，則該過程中探測器的加速度為多大，最低消耗燃料的質量m為多少．

Answer 1

（1）在自由下落到月球表面的過程中，由v_m²=2g₀h_m
解得：h_m=

v 2m

2g0

（2）探測器從高為H處勻減速下降到h_m懸停位置的過程中，由運動學公式得：
H-h_m=

1

2

at²；
又m=△m△t=（ap+q）

2(H-hm) a

=（p

a

+

q

a

）

2(H-hm)

由上式可知，當p

a

=

q

a

時
即a=

q

p

時，所消耗的燃料最少
則有：m=2

pq

×

2(H-hm)

=2

pq(H- v 2m 2g0

)
答：（1）探測器懸停位置距月球表面的最大高度h_m為

v 2m

2g0

；
（2）最低消耗燃料的質量m為2

pq(H- v 2m 2g0

)..