Question

如圖所示，在空間有勻強磁場，磁感強度的方向垂直紙面向里，大小為B，光滑絕緣空心細管MN的長度為h，管內M端有一質量為m、帶正電q的小球P，開始時小球P相對管靜止，管帶著小球P沿垂直于管長度方向的恒定速度u向圖中右方運動．設重力及其它阻力均可忽略不計．
（1）當小球P相對管上升的速度為v時，小球上升的加速度多大？
（2）小球P從管的另一端N離開管口后，在磁場中作圓周運動的圓半徑R多大？
（3）小球P在從管的M端到N端的過程中，管壁對小球做的功是多少？

Answer 1

分析：（1）小球P相對管上升的速度為v，隨管勻速運動速度為u，求出小球的合速度，得出洛倫茲力，根據牛頓第二定律求出小球上升的加速度．
（2）根據運動學公式求出小球離開N端管口時的豎直分速度，再求出小球離開N端管口時的合速度，由圓周運動的半徑公式求出小球在磁場中做圓周運動的半徑R．
（3）根據動能定理求出小球P在從管的M端到N端的過程中管壁對小球做的功．

解答：解：（1）設此時小球的合速度大小為v_合，方向與u的夾角為θ．
有：v合=

v2+u2

…①
cosθ=

u

v合

=

u

v2+u2

  …②
此時粒子受到的洛倫茲力f和管壁的彈力N如所示，由牛頓第二定律可求此時小球上升的加速度為：
a=fcosθ=

qv合Bcosθ

m

…③
聯立①②③解得：a=

quB

m

．
（2）由上問a知，小球上升加速度只與小球的水平速度u有關，故小球在豎直方向上做加速運動．設小球離開N端管口時的豎直分速度為v_y，由運動學公式得：vy=

2ah

=

2quBh m

此時小球的合速度v=

u2+ v 2 y

=

u2+ 2quBh m

故小球運動的半徑為R=

mv

qB

=

1

qB

m2u2+2qumBh

（3）因洛化茲力對小球做的功為零，由動能定理得管壁對小球做的功為：W=

1

2

mv2-

1

2

mu2=quBh．
答：（1）當小球P相對管上升的速度為v時，小球上升的加速度a=

quB

m

；
（2）小球P從管的另一端N離開管口后，在磁場中作圓周運動的圓半徑R=

1

qB

m2u2+2qumBh

；
（3）小球P在從管的M端到N端的過程中，管壁對小球做的功W=quBh．

點評：本題是運動的合成、運動學公式、牛頓第二定律和動能定理的綜合應用．運用動能定理求變力做功是常用的方法．