Question

某游樂場過山車模型簡化為如圖5－3－19所示，光滑的過山車軌道位于豎直平面內，該軌道由一段斜軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R.可視為質點的過山車從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動．

（1）若要求過山車能通過圓形軌道最高點，則過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度h至少要多少？
（2）考慮到游客的安全，要求全過程游客受到的支持力不超過自身重力的7倍，過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度h不得超過多少？

Answer 1

2.5R   3R

試題分析：（1）設過山車總質量為m₀，從高度h₁處開始下滑，恰能以v₁過圓形軌道最高點，在圓形軌道最高點有：   m₀g＝   ①
運動過程機械能守恒：  m₀gh₁＝2m₀gR＋m₀   ②
由①②式得：h₁＝2.5R  高度h至少要2.5R
（2）設從高度h₂處開始下滑，過圓形軌道最低點時速度為v₂，游客受到的支持力最大是F_N＝7 mg
最低點時：F_N－mg＝m ③
運動過程機械能守恒：mgh₂＝m  ④
由③ ④ 式得：h₂＝3R  高度h不得超過3R.