Question

【題目】光滑水平平臺AB上有一根輕彈簧，一端固定于A，自然狀態下另一端恰好在B。平臺B端連接兩個內壁光滑、半徑均為R=0.2m的1/4細圓管軌道BC和CD。D端與水平光滑地面DE相接。E端通過光滑小圓弧與一粗糙斜面EF相接，斜面與水平面的傾角θ可在0°≤θ≤75°范圍內變化（調節好后即保持不變）。一質量為m=0.1kg的小物塊（略小于細圓管道內徑）將彈簧壓縮后由靜止開始釋放，被彈開后以v0=2m/s進入管道。小物塊與斜面的滑動摩擦系數為，取g=10m/s2，不計空氣阻力;

（1）求物塊過B點時對細管道的壓力大小和方向；

（2）當θ取何值時，小物塊在EF上向上運動的時間最短？求出最短時間。

（3）求θ取不同值時，在小物塊運動的全過程中產生的摩擦熱量Q與tanθ的關系式。

Answer 1

【答案】（1）1N，方向豎直向上（2）0.3s（3）

【解析】（1）設軌道對物塊的壓力豎直向下，由牛頓第二定律得：

解得：F=1N

由牛頓第三定律，物塊對軌道的壓力大小為，方向豎直向上

（2）物塊到達DE時的速度為v，根據動能定理得：

解得：

沿斜面上滑，根據牛頓第二定律得：

上滑時間為：

聯立可得：

由數學知識可得，當時，有

（3）物塊恰好能在斜面上保持靜止，根據平衡條件有： ， ，則當，滑塊在EF上停下后即保持靜止

在EF上滑行的距離為： ，產生的摩擦熱量為：

化簡得：

當，滑塊在EF上停下后返回，經多次往復運動后，最終靜止于E點

產生的摩擦熱量為：