Question

【題目】將一帶有1/4光滑圓弧軌道的長木板固定在水平面上，其中B點為圓弧軌道的最低點，BC段為長木板的水平部分，長木板的右端與足夠長的平板車緊靠在一起但不粘連，在平板車的右端放置一可視為質點的小鐵塊乙，忽略小鐵塊乙與平板車之間的摩擦力。現將與乙完全相同的小鐵塊甲由1/4光滑圓弧的最高點A無初速度釋放，小鐵塊甲經C點滑到平板車的上表面，與小鐵塊乙碰后粘在一起。已知小鐵塊甲、小鐵塊乙以及平板車的質量均為m＝1 kg，BC的長度L＝3.5 m，1/4圓弧軌道的半徑R＝3.2 m，小鐵塊甲與長木板的BC段以及與平板車之間的動摩擦因數均為μ＝0.4，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，平板車與水平面之間的摩擦力可忽略不計，g＝10 m/s2。問：

(1)小鐵塊甲剛到B點時對長木板的壓力大小為多少？

(2)小鐵塊甲在長木板的水平部分BC段滑動的時間為多少？

(3)在整個運動過程中三者最終共速，則共速時小鐵塊甲與平板車左端的距離為多少？

Answer 1

【答案】（1）30 N（2）0.5 s（3）m

【解析】(1)小鐵塊甲由A點運動到B點時的速度為vB，由動能定理得：

在B點，由牛頓第二定律得：FN－mg＝m

聯立解得長木板對小鐵塊甲的支持力為 FN＝3mg＝30 N

由牛頓第三定律得，小鐵塊甲剛到B點時對長木板的壓力大小為FN′＝3mg＝30 N

(2)小鐵塊甲在長木板上運動過程中有：μmg＝ma

L＝vBt－at2

聯立解得：t＝0.5 s(t＝3.5 s不合題意，舍去)

(3)小鐵塊甲剛滑上平板車時的速度：

v1＝vB－at＝6 m/s

從小鐵塊甲滑上平板車到相對平板車靜止過程中，平板車與小鐵塊甲組成的系統動量守恒，而小鐵塊乙保持靜止，則有：mv1＝(m＋m)v2

小鐵塊甲與平板車的共同速度：v2＝3 m/s

此過程中小鐵塊甲相對平板車的位移為L1，則：

解得：L1＝m

小鐵塊甲與平板車勻速運動直到小鐵塊甲與小鐵塊乙發生碰撞，小鐵塊甲與小鐵塊乙相互作用的過程中動量守恒，有：mv2＝(m＋m)v3

此后小鐵塊甲與小鐵塊乙組成的系統與平板車發生相互作用，且該過程中動量守恒，且達到共同速度v4，得：

(m＋m)v3＋mv2＝(m＋m＋m)v4

此過程中小鐵塊甲相對平板車的位移大小為L2，則：

解得：L2＝ m

因小鐵塊甲與小鐵塊乙碰撞后的共同速度v3小于平板車的速度v2，故小鐵塊甲最終與平板車左端的距離為x＝L1－L2＝m