Question

【題目】近代的材料生長和微加工技術，可制造出一種使電子的運動限制在半導體的一個平面內(二維)的微結構器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質原子射散的影響．這種特點可望有新的應用價值．圖甲所示為四端十字形，二維電子氣半導體，當電流從1端進入時，通過控制磁場的作用，可使電流從2、3或4端流出．對下面模擬結構的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導體中的流動．在圖乙中，a、b、c、d為四根半徑都為R的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個寬度極窄的狹縫1、2、3、4，在這些狹縫和四個圓柱所包圍的空間(設為真空)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里．一個質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，由靜止經電場加速后，在紙面內以速度v0沿與a、b都相切的方向由縫1射入磁場內，與其中一個圓柱表面發生一次彈性碰撞(碰撞無機械能損失)，從縫2處且沿與b、c都相切的方向射出，碰撞時間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用，重力忽略不計．加速電場兩板間距為d，兩極板厚度不計且其右極板與圓柱a、b同時相切．

(1)求加速電場電壓U.

(2)求磁感應強度B.

(3)求從由靜止加速到從縫2射出所用的時間t.

Answer 1

【答案】(1) (2)

(3)t＝＋

【解析】(1)粒子由靜止在電場中加速qU＝mv①

解得U＝②

(2)在圖中紙面內取Oxy坐標(如圖)，原點在狹縫1處，x軸過縫1和縫3.粒子從縫1進入磁場，在洛倫茲力作用下做圓周運動，圓軌道在原點與x軸相切，故其圓心必在y軸上．若以r表示此圓的半徑，則圓方程為

x2＋(r－y)2＝r2③

根據題的要求和對稱性可知，粒子在磁場中做圓周運動時應與d的柱面相碰于縫3、4間的圓弧中點處，碰撞處的坐標為x＝2R－Rsin45°④

y＝R－Rcos45°⑤

由③④⑤式，得r＝3R⑥

由洛倫茲力和牛頓定律，有qv0B＝m⑦

由⑥⑦式，得B＝⑧

(3)在電場中加速用時t1＝⑨

在磁場中轉過兩段圓弧，設每段圓弧對應圓心角為θ有

sinθ＝⑩

且磁場中用時t2＝

t3＝

總共用時t＝t1＋t2＋t3

由④⑨⑩式得t＝＋