Question

（1）如圖所示，某種變速自行車有三個鏈輪和六個飛輪，鏈輪和飛輪的齒數如下表所示．該自行車的前后輪周長為2m，人腳踩踏板的轉速為每秒鐘1.5轉．若采用的鏈輪和飛輪齒數分別為48和24，則該種組合下自行車行駛時的速度為

6m/s

 m/s；在踏板的轉速不變的情況下，通過選擇不同的鏈輪和飛輪，該自行車行駛的最大和最小速度之比為

16：5

．

（2）從離地H高處自由下落小球a，同時在它正下方H處以速度V0豎直上拋另一小球b，不計空氣阻力，則小球b在上升過程中與a球相遇的條件是

v₀²＞gh

．
（3）如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內半徑為R的半圓，圓管截面半徑r＜＜R，有一質量為m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v₀射入圓管．要使小球從C端出來的瞬間，對管的內壁有壓力，則初速度v₀應滿足的條件是

2

gR

＜v₀＜

5gR

．

Answer 1

分析：（1）在運動的過程中，腳踏板和鏈輪因為共軸，有相同的角速度，鏈輪的邊緣和飛輪的邊緣通過鏈條連接，有相同的線速度大小，飛輪和后輪共軸，有相同的角速度．腳踏板以恒定的角速度轉動時，當鏈輪的齒數最多，飛輪的齒數最少，自行車的行進速度最大；當鏈輪的齒數最少，飛輪的齒數最多，自行車的行駛速度最小．
（2）根據位移時間公式分別求出a和b的位移大小，兩物體在空中相碰，知兩物體的位移之和等于H，再結合相遇的時間小于乙落地的時間，求出乙的初速度v₀應滿足的條件．
（3）以小球為研究對象，小球經過C點時速度不同，管壁對球的作用力大小和方向不同，分析討論：當管壁對球無作用力時，在C點由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出在C點的速度，由機械能守恒定律求出初速v₀．當初速度大于和小于臨界速度時，由向心力知識分析管壁對球的作用力大小和方向．

解答：解：（1）人腳踩踏板的轉速為每秒鐘1.5轉，角速度ω=1.5rad/s，鏈輪和飛輪齒數分別為48和24，則飛輪的角速度為2ω=3rad/s，自行車的前后輪周長為2m根據v=ωr=2×3m/s=6m/s；速度最快時，飛輪的齒數最多，鏈輪的齒數最少即鏈輪和飛輪齒數分別為28和28，此時v=

28

28

ωr=ωr，速度最慢時，飛輪的齒數最少，鏈輪的齒數最多即鏈輪和飛輪齒數分別為48和15，此時v=

48

15

ωr，所以自行車行駛的最大和最小速度之比為：

48 15 ωr

ωr

=16：5
（2）設經過時間t甲乙在空中相碰，甲做自由落體運動的位移
h1=

1

2

gt 2①
乙做豎直上拋運動的位移    h2=v0t+

1

2

gt2②
由幾何關系  h=h₁+h₂                          ③
聯立①②③解得   t=

h

v0

④
設乙拋出后經過時間t_max落地，根據速度-時間關系有 t_max=

20v

g

⑤
甲乙在空中相遇應滿足  0＜t＜t_max     ⑥
聯立④⑤⑥解得  v₀≥

gH

（3）當球恰好能從C端出來時，速度v_C=0．
根據機械能守恒定律得：mg?2R=

1

2

mv02
解得：v0=2

gR

當管壁對球無作用力時，即N=0時，由mg=m

vC2

R

，v_C=

gR

根據機械能守恒定律得mg?2R+

1

2

mvC2=

1

2

mv02
解得：v0=

5gR

當管壁對球的作用力方向向上時，球對管壁的壓力方向向下，此時2

gR

＜V0＜

5gR

所以要使小球從C端出來的瞬間，對管的內壁有壓力，2

gR

＜V0＜

5gR

故答案為：（1）6m/s；16：5；（2）v₀≥

gH

；（3）2

gR

＜V0＜

5gR

點評：（1）解決本題的關鍵知道共軸的點，有相同的角速度，通過鏈條連接的點，有相同的線速度大小
（2）解決本題的關鍵知道兩物體在空中相碰，兩物體的位移之和等于h，結合物體運動時間的范圍，求出初始度的范圍．
（3）本題是機械能守恒定律與向心力知識的結合，考查綜合應用物理規律的能力．對于小球在管子里的運動情形與輕桿模型類似，關鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點和在最高點恰好不受管壁作用力兩種情況．