Question

【題目】如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，B點為水平面與軌道的切點，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質量為m的質點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點：

（1）求推力對小球所做的功。
（2）x取何值時，完成上述運動推力所做的功最少？最小功為多少。
（3）x取何值時，完成上述運動推力最小？最小推力為多少。

Answer 1

【答案】
（1）

質點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點，設質點在C點的速度為vC，質點從C點運動到A點所用的時間為t，

在水平方向： x=vCt 豎直方向上：2R= gt2 解得

對質點從A到C由動能定理有 WF-mg·2R=

解得：

（2）

要使F力做功最少，確定x的取值，由WF=2mgR+ mv 知，只要質點在C點速度最小，則功WF就最小。若質點恰好能通過C點，其在C點最小速度為v，由牛頓第二定律有 ,則v=

有 ，解得：x=2R

當x=2R時， WF最小，最小的功：WF= mgR

（3）

由式 ) 及WF=Fx得： )

F有最小值的條件是： 即x=4R

得最小推力為：F=mg.

【解析】（1）質點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點，設質點在C點的速度為vC ， 質點從C點運動到A點所用的時間為t ，
在水平方向： x=vCt 豎直方向上：2R= gt2 解得
對質點從A到C由動能定理有 WF-mg·2R=
解得： （2）要使F力做功最少，確定x的取值，由WF=2mgR+ mv 知，只要質點在C點速度最小，則功WF就最小。若質點恰好能通過C點，其在C點最小速度為v ， 由牛頓第二定律有 ,則v=
有 ，解得：x=2R
當x=2R時， WF最小，最小的功：WF= mgR（3）由式 ) 及WF=Fx得： )
F有最小值的條件是： 即x=4R
得最小推力為：F=mg.
本題考查了牛頓第二定律的應用