Question

（ 25分）如圖所示，在半徑為的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應強度大小為的均勻磁場，其方向平行于軸線遠離讀者．在圓柱空間中垂直軸線平面內固定放置一絕緣材料制成的邊長為的剛性等邊三角形框架，其中心位于圓柱的軸線上．邊上點（）處有一發射帶電粒子的源，發射粒子的方向皆在圖中截面內且垂直于邊向下．發射粒子的電量皆為（＞0），質量皆為，但速度有各種不同的數值．若這些粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，并要求每一次碰撞時速度方向垂直于被碰的邊．試問：

1．帶電粒子速度的大小取哪些數值時可使點發出的粒子最終又回到點？

2. 這些粒子中，回到點所用的最短時間是多少？

Answer 1

解析：

帶電粒子（以下簡稱粒子）從點垂直于邊以速度射出后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，其圓心一定位于邊上，其半徑可由下式

求得

                                           （1）

1. 要求此粒子每次與的三條邊碰撞時都與邊垂直，且能回到點，則和應滿足以下條件：

（）與邊垂直的條件．

由于碰撞時速度與邊垂直，粒子運動軌跡圓的圓心一定位于的邊上，粒子繞過頂點、、時的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點（即、、）上．粒子從點開始向右作圓周運動，其軌跡為一系列半徑為的半圓，在邊上最后一次的碰撞點與點的距離應為，所以的長度應是的奇數倍。粒子從邊繞過點轉回到點時，情況類似，即的長度也應是軌道半徑的奇數倍．取，則當的長度被奇數除所得的也滿足要求，即

          ＝1，2，3，…

因此為使粒子與各邊發生垂直碰撞，必須滿足下面的條件

                （2）

此時

為的奇數倍的條件自然滿足．只要粒子繞過點與邊相碰，由對稱關系可知，以后的碰撞都能與的邊垂直．

（）粒子能繞過頂點與的邊相碰的條件．

由于磁場局限于半徑為的圓柱范圍內，如果粒子在繞點運動時圓軌跡與磁場邊界相交，它將在相交點處以此時的速度方向沿直線運動而不能返回．所以粒子作圓周運動的半徑不能太大，由圖可見，必須（的頂點沿圓柱半徑到磁場邊界的距離，時，粒子圓運動軌跡與圓柱磁場邊界相切），由給定的數據可算得

                                （3）

將1，2，3，…，分別代入（2）式，得

   

    

   

   

由于，，≥，這些粒子在繞過的頂點時，將從磁場邊界逸出，只有≥4的粒子能經多次碰撞繞過、、點，最終回到點．由此結論及（1）、（2）兩式可得與之相應的速度

                （4）

這就是由點發出的粒子與的三條邊垂直碰撞并最終又回到點時，其速度大小必須滿足的條件．

2. 這些粒子在磁場中做圓周運動的周期為

  

將（1）式代入，得

               （5）

可見在及給定時與無關。粒子從點出發最后回到點的過程中，與的邊碰撞次數愈少，所經歷的時間就愈少，所以應取，如圖所示（圖中只畫出在邊框的碰撞情況），此時粒子的速度為，由圖可看出該粒子的軌跡包括3×13個半圓和3個圓心角為300°的圓弧，所需時間為

                               （6）

以（5）式代入得

                                              （7）

評分標準：本題25分

第一問15分；第二問10分。第一問中：（1）式2分；（2）式5分；分析出≥4的結論給4分；（4）式4分。第二問中：（5）式1分；（6）式7分；（7）式2分。