Question

（2013?日照一模）如圖所示，在直角坐標系xoy的第一、四象限區域內存在兩個有界的勻強磁場：垂直紙面向外的勻強磁場I、垂直紙面向里的勻強磁場II，O、M、P、Q為磁場邊界和x軸的交點OM=MP=L．在第三象限存在沿y軸正向的勻強電場．一質量為m、帶電荷量為+q的粒子從電場中坐標為（-2L，-L）的點以速度υ₀沿+x方向射出，恰好經過原點O處射入區域I又從M點射出區域I（粒子的重力忽略不計）．
（1）求第三象限勻強電場場強E的大小；
（2）求區域I內勻強磁場磁感應強度B的大小；
（3）如帶電粒子能再次回到原點O，問區域II內磁場的寬度至少為多少？粒子兩次經過原點O的時間間隔為多少？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動，運用運動的分解法，由牛頓第二定律和運動學公式求解場強E的大小；
（2）帶電粒子進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動．由題意，粒子經過原點O處射入區域I又從M點射出區域I，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，由牛頓第二定律即可求得磁感應強度B的大小；
（3）當帶電粒子恰好能再次回到原點O，在磁場Ⅱ中軌跡恰好與其右邊界相切，畫出軌跡，由幾何關系即可求出磁場的寬度．分段求出時間，即可求得總時間．

解答：解：（1）帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動，則有
   水平方向：2L=v₀t
   豎直方向：L=

1

2

qE

m

(

2L

v0

)2
聯立解得，E=

m v 2 0

2qL

（2）設到原點時帶電粒子的豎直分速度為v_y
則 vy=

qE

m

t=

qE

m

2L

v0

=v0
則粒子進入磁場時速度大小為  v=

2

v0，方向與x軸正向成45° 
粒子進入區域Ⅰ做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌跡半徑為  R1=

2

2

L
由洛倫茲力充當向心力，則有 Bqv=m

v2

R1

可解得：B=

mv

qR 1

=

2mv0

qL

（3）粒子運動軌跡如圖．
在區域Ⅱ做勻速圓周的半徑為 R2=

2

L
帶電粒子能再次回到原點的條件是區域Ⅱ的寬度 d ≥R2+L=(

2

+1)L
粒子從O到M的運動時間 t1=

π 2 2 2 L

2 v0

=

πL

4v0

粒子從M到N的運動時間 t2=

2 L

2 v0

=

L

v0

粒子在區域Ⅱ中的運動時間 t3=

3π 2 2 L

2 v0

=

3πL

2v0

粒子兩次經過原點O的時間間隔為 t總=2(t1+t2)+t3=

2(1+π)L

v0

答：（1）第三象限勻強電場場強E的大小是

m v 2 0

2qL

；
（2）區域I內勻強磁場磁感應強度B的大小是

2mv0

qL

；
（3）如帶電粒子能再次回到原點O，區域II內磁場的寬度至少為（

2

+1）L，粒子兩次經過原點O的時間間隔為

2(1+π)L

v0

．

點評：本題考查帶電粒子在電磁場中的運動，注意在磁場中的運動要注意幾何關系的應用，在電場中注意由類平拋運動的規律求解．