Question

【題目】輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l．現將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示．物塊P與AB間的動摩擦因數μ=0.5．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后釋放，P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g．

（1）若P的質量為m，求P到達B點時速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點間的距離；
（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：將彈簧豎直放置在地面上，物體下落壓縮彈簧時，由系統的機械能守恒得

Ep=5mgl

如圖，根據能量守恒定律得

Ep=μmg4l+

聯立解得 vB=

物體P從B到D的過程，由機械能守恒定律得

mg2l+ =

解得 vD= ＞

所以物體P能到達D點，且物體P離開D點后做平拋運動，則有

2l=

x=vDt

解得 x=2 l

即落地點與B點間的距離為2 l

答：P到達B點時速度的大小是 ，它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點間的距離是2 l

（2）解：P剛好過B點，有：Ep=μm1g4l，解得 m1= m

P最多到C而不脫軌，則有 Ep=μm2g4l+m2gl，解得 m2= m

所以滿足條件的P的質量的取值范圍為： m≤mP＜ m

答：P的質量的取值范圍為： m≤mP＜ m

【解析】（1）先研究彈簧豎直的情況，根據系統的機械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能．彈簧如圖放置時，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢能相等．由能量守恒定律求出物體P滑到B點時的速度，由機械能守恒定律求出物體P到達D點的速度．物體P離開D點后做平拋運動，由平拋運動的規律求水平距離．（2）P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，能上升的最高點為C，根據能量守恒定律列式和臨界條件求解．