Question

【題目】某行星的質量為地球質量的 ，半徑為地球半徑的。現向該行星發射探測器，并在其表面實現軟著陸。探測器在離行星表面 h 高時速度減小為零，為防止發動機將行星表面上的塵埃吹起，此時要關閉所有發動機，讓探測器自由下落實現著陸。已知地球半徑 R0=6400km，地球表面重力加速度 g=10m/s2，不計自轉的影響（結果保留兩位有效數字。你可能用到的數據有：=1.41, =1.73, = 2.24, = 3.16）。

（1）若題中 h=4m，求探測器落到行星表面時的速度大小；

（2）若在該行星表面發射一顆繞它做圓周運動的衛星，發射速度至少多大；

（3）由于引力的作用，行星引力范圍內的物體具有引力勢能．若取離行星無窮遠處為Mm引力勢能的零勢點，則距離行星球心為 r 處的物體引力勢能，式中 G 為萬有 r引力常量，M 為行星的質量，m 為物體的質量．求探測器從行星表面發射能脫離行星引力范圍所需的最小速度．

Answer 1

【答案】(1)4m/s(2)1.8km/h(3)2.5km/h

【解析】

(1)著陸器做近似地球表面的自由落體運動，設著陸器落到月面時的速度大小為v，月球表面物體自由下落加速度為g，則有

①

設月球質量為M，半徑為R，忽略月球自轉，在月球表面附近質量為m的物體滿足

②

同理，設地球質量為M0，半徑為R0，有

③

聯立解得：

(2)設月球質量為M，半徑為R，忽略月球自轉，在月球表面附近質量為m的物體滿足

設地球質量為M0，半徑為R0，有

該行星表面發射一顆繞它做圓周運動的衛星，則有

聯立解得：

(3)設著陸器至少以速度v0起飛方可沖出月球引力場，則由能量關系得

④

聯立①②④并代入數據解得：