Question

【題目】據每日郵報2014年4月18日報道，美國國家航空航天局日前宣布首次在太陽系外發現“類地”行星。假如宇航員乘坐宇宙飛船到達該行星，在該行星“北極”距地面h處由靜止釋放一個小球（引力視為恒力），經過時間t落到地面。已知該行星半徑為R，自轉周期為T，萬有引力常量為G，求：

(1)該行星的平均密度ρ；

(2)該行星的第一宇宙速度v；

(3)如果該行星存在一顆同步衛星，其距行星表面的高度H為多少。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：（1）先根據自由落體運動的公式h=求解重力加速度g；對衛星，根據萬有引力等于向心力列式求解星球質量；最后根據密度的定義公式求解星球的密度；

（2）對近地衛星，根據重力等于萬有引力列式求解該行星的第一宇宙速度；

（3）對同步衛星，根據萬有引力等于向心力列式求解．

解：（1）設行星表面的重力加速度為g，對小球，有：

，

解得：

對行星表面的物體m，有：

，

故行星質量：

故行星的密度：

（2）對處于行星表面附近做勻速圓周運動的衛星m，由牛頓第二定律，有：

故第一宇宙速度為：

（3）同步衛星的周期與星球自轉周期相同，為T，由牛頓第二定律，有：

得同步衛星距行星表面高度：

答：（1）該行星的平均密度ρ為；

（2）該行星的第一宇宙速度v為；

（3）如果該行星存在一顆同步衛星，其距行星表面的高度h為．