Question

【題目】如圖所示，粗糙水平面上靜止放置一質量為2m的木板，在木板上右端靜置一質量為m的小滑塊。一可視為質點、質量為2m的小朋友蕩秋千，從A點由靜止出發繞O點下擺，當擺到最低點B時，小朋友在極短時間內用腳水平蹬踏木板的左端，然后自己剛好能回到A點。已知秋千的擺繩長為L，質量不計，AO與豎直方向的夾角為60°。小滑塊與木板之間、木板與水平面間的動摩擦因數都是，重力加速度為g。求：

(1)秋千擺到最低點B，小朋友未蹬踏木板時秋干擺繩的拉力大小；

(2)小朋友蹬踏木板過程中，小朋友做功大小；

(3)若小滑塊不從木板上滑下，木板至少應為多長。

Answer 1

【答案】（1）4mg （2） （3）

【解析】

(1)從A點下擺到B點，只有重力做功，機械能守恒。由機械能守恒定律求出小朋友運動到最低點時的速度。在最低點，由合力充當向心力，由向心力公式求解秋千繩的拉力；(2)小朋友蹬踏木板過程中，沿水平方向動量守恒。由動量守恒定律列式。再由動能定理求小朋友做功大小；(3)由牛頓第二定律分別求出滑塊和木板的加速度，結合運動學公式可求得木板的長度.

(1)小朋友從A點下擺到B點，只有重力做功，機械能守恒.

設到達B點的速度大小為v0,則由機械能守恒定律有：

繩子拉力設為T，由受力分析和圓周運動知識有：

解得：T=4mg

(2)由題意知，小朋友蹬踏木板后速度大小不變，方向向左

由動量守恒定律得：2mv0=-2mv0+2mv1

得木板的速度：

小朋友做功大小：

(3)由牛頓第二定律得：小滑塊的加速度：

木板的加速度：

當二者速度相等后，由于整體的加速度等于滑塊的最大加速度，所以此后二者保持相對靜止，設此過程經過的時間為t

由速度關系得：v1-a板t=a塊t

此過程木板的位移：

滑塊的位移：

小滑塊不從木板上滑下，木板至少應為：x=x板-x塊

解得：