Question

如圖所示的豎直平面內有范圍足夠大、水平向左的勻強電場，在虛線的左側有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B.一絕緣形彎桿由兩段直桿和一半徑為R的半圓環組成，固定在紙面所在的豎直平面內．PQ、MN水平且足夠長，半圓環MAP在磁場邊界左側，P、M點在磁場邊界線上，NMAP段是光滑的.現有一質量為m、帶電+q的小環套在MN桿上，它所受電場力為重力的倍.現在M右側D點由靜止釋放小環，小環剛好能到達P點.

(1)求DM間距離x₀；

(2)求上述過程中小環第一次通過與O等高的A點時彎桿對小環作用力的大小；

(3)若小環與PQ間動摩擦因數為μ(設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等),現將小環移至M點右側4R處由靜止開始釋放，求小環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

(1)小環剛好到達P點時速度v_P=0                                       

    由動能定理得qEx₀-2mgR=0                                            ①

    qE=                                                                ②

    由①②得x₀=.                                                      

(2)小環在A點時的速度為v_a,由動能定理

    qE(x₀+R)-mgR=mv_a²-0                                                ③

    彈力與洛倫茲力合力提供向心力N-qv_AB-qE=m                        ④

    由③④得N=+.                                        

(3)若-f=μmg≥qE，即μ≥

    小環第一次到達P點右側s₁距離處速度為零,由動能定理

    qE(4R-s₁)-2mgR-fs₁=0                                                  ⑤

    f=μmg                                                                   ⑥

    由⑤⑥得s₁=                                                  

    環停在此處不動,所以克服摩擦力所做的功W=fs₁=                  

    若f-μmg

    環經來回往復運動,最后只能在PD之間往復運動,克服摩擦力做功W.

    qE(4R)-mg(2R)-W=0                                                   

    解得W=mgR.