Question

如圖所示，一邊長L=0.2m，質量m₁=0.5kg，電阻R=0.1Ω的正方形導體線框abcd，與一質量為m₂=2kg的物塊通過輕質細線跨過兩定滑輪相連．起初ad邊距磁場下邊界為d₁=0.8m，磁感應強度B=2.5T，磁場寬度d₂=0.3m，物塊放在傾角θ=53°的斜面上，物塊與斜面間的動摩擦因數μ=0.5．現將物塊由靜止釋放，經一段時間后發現當ad邊從磁場上邊緣穿出時，線框恰好做勻速運動．（g取10m/s，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）線框ad邊從磁場上邊緣穿出時速度的大小？
（2）線框剛剛全部進入磁場時動能的大小？
（3）整個運動過程線框產生的焦耳熱為多少？

Answer 1

分析：（1）由于線框勻速出磁場，受力分析由平衡條件列方程即可解的．
（2）從線框剛剛全部進入磁場到線框ad邊剛要離開磁場，由動能定理可解得．
（3）從初狀態到線框剛剛完全出磁場，由能的轉化與守恒定律可解得．

解答：解：（1）由于線框勻速出磁場，受力分析知
對m₂有：m₂gsinθ-μm₂gcosθ-T=0…①
對m₁有：T-m₁g-BIL=0…②
又因為有：I=

BLv

R

…③
聯立①②③可得：v=

m2g(sinθ-μcosθ)-m1g

B2L2

R=

2×10(0.8-0.5×0.6)-0.5×10

2.52×0．22

=2m/s
（2）從線框剛剛全部進入磁場到線框ad邊剛要離開磁場，由動能定理得：
(m2gsinθ-μm2gcosθ)(d2-L)-m1g(d2-L)=

1

2

(m1+m2)v2-EK
將速度v代入，（2×10×0.8-0.5×2×10×0.6）-0.5×10×（0.3-0.2）=

1

2

（2+0.5）×2²-E_K
整理可得線框剛剛全部進入磁場時，線框與物塊的動能和為：E_K=4.5J 
所以此時線框的動能為：E′K=

m1

m1+m2

EK=0.9J 
（3）從初狀態到線框剛剛完全出磁場，由能的轉化與守恒定律可得：
m₂gsinθ-μm₂gcosθ）（d₁+d₂+L）-m₁g（d₁+d₂+L）=Q+

1

2

(m1+m2)v2
將數值代入有：
2×10×0.8-0.5×2×10×0.6）×（0.8+0.3+0.2）-0.5×10×（0.8+0.3+0.2）=Q+

1

2

（2+0.5）×2²
整理可得線框在整個運動過程中產生的焦耳熱為：
Q=1.5 J 
答：（1）線框ad邊從磁場上邊緣穿出時速度的大小為2m/s．
    （2）線框剛剛全部進入磁場時動能的大小為0.9J．
     （3）整個運動過程線框產生的焦耳熱為1.5J．

點評：此題綜合性強，需要綜合考慮運動學中力的平衡及動能定理和能量守恒的知識進行解題，所以難度較大些．