Question

如圖所示的豎直平面內有范圍足夠大、水平向左的勻強電場，在虛線的左側有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，一絕緣軌道由兩段直桿和一半徑為R的半圓環組成，固定在紙面所在的豎直平面內，PQ、MN水平且足夠長，半圓環MAP在磁場邊界左側，P、M點在磁場邊界線上，NMAP段光滑，PQ段粗糙，現在有一質量為m、帶電荷量為+q的小環套在MN桿上，它所受電場力為重力的倍。現將小環從M點右側的D點由靜止釋放，小環剛好能到達P點.

（1）求DM間距離；

（2）求上述過程中，小環第一次通過與O等高的A點時，半圓環對小環作用力的大小；

（3）若小環與PQ間動摩擦因數為μ（設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等），現將小環移至M點右側4R處由靜止開始釋放，求小球在整個運動過程中克服摩擦力所做的功.

Answer 1

解：（1）小環剛好到達P點時速度，由動能定理得

  

                         而   所以  

（2）設小環在A點時的速度為，由動能定理得

                        

                       因此    

       設小環在A點時所受半圓環軌道的作用力大小為N，由牛頓第二定律得

                          

所以得    

（3）若  小環第一次到達P點右側s₁距離處靜止，由動能定理得   

              而    

              設克服摩擦力所做功為W，則  

           若 環經過來回往復運動，最后只能在PD之間往復運動，設克服摩擦力所做的功為W，則

 

          解得W=mgR