Question

如圖所示，物體A的質量m=1kg，靜止在光滑水平面上的平板車B的質量為M=0.5kg、長L=1m．某時刻A以向右的初速度v₀滑上木板B的上表面，忽略物體A的大小，已知A與B之間的動摩擦因數?=0.2，取重力加速度g=10m/s²．試求：

（1）現使B固定在地面上，令A在B上運動的末速度為v，試確定函數v（v₀）的解析式，并大致畫出v-v₀圖線．
（2）若v₀=4m/s，且B可在地面自由滑動，在A滑上B的同時，給B施加一個水平向右的恒定拉力F．
①假設F=5N，求物體A從開始運動到距離小車左端最遠處所需時間；
②若要使A不至于從B上滑落，拉力F大小應滿足什么條件？

Answer 1

分析：首先分析物體A和車的運動情況：A相對于地做勻減速運動，車相對于地做勻加速運動．開始階段，A的速度大于車的速度，則A相對于車向右滑行，當兩者速度相等后，A相對于車靜止，則當兩者速度相等時，物體A在小車上運動時相對小車滑行的最大距離．由牛頓第二定律和運動學公式結合，以及速度相等的條件，分別求出A與車相對于地的位移，兩者之差等于A在小車上運動時相對小車滑行的最大距離．
    要使A不從B上滑落，是指既不能從B的右端滑落，也不能左端滑落．物體A不從右端滑落的臨界條件是A到達B的右端時，A、B具有共同的速度，根據牛頓第二定律和運動學公式結合，以及速度相等的條件，可求出此時F，為F的最小值．物體A不從左端滑落的臨界條件是A到達B的左端時，A、B具有共同的速度，可求出此時F的最大值，綜合得到F的范圍．

解答：解：（1）由運動學公式L=

v02-v2

2μg

，
得v=

v02-2μgL

因此有v=

0 v02-4

(v0≤2m/s) (v0≥2m/s)

大致如圖（2m/s以外部分為雙曲線的一部分）．
（2）①對A有μmg=ma_A…①得a_A=?g=2 m/s²              
木板B作加速運動，有F+?mg=Ma_B，…②得：a_B=14 m/s²     
兩者速度相同時，有v₀-a_At=a_Bt，得：t=0.25s                        
②物體A不從B 右端滑落的臨界條件是A到達B的右端時，A、B具有共同的速度v₁，
則：

v02- v 2 1

2aA

=

v 2 1

2aB

+L
又：

v0-v1

aA

=

v1

aB

聯立以上兩式，可得：a_B=6m/s²              
再代入②式得：F=Ma_B-μmg=1N
當F較大時，在A到達B的右端之前，就與B具有相同的速度，之后，A必須相對B靜止，才不會從B的左端滑落．即有：F=（M+m）a，μmg=ma所以F=3N
綜上：力F應滿足的條件是：1N≤F≤3N．
答：（1）如圖所示；
（2）①物體A從開始運動到距離小車左端最遠處所需時間為0.25s；
②若要使A不至于從B上滑落，拉力F大小應滿足什么條件為1N≤F≤3N．

點評：牛頓定律和運動公式結合是解決力學問題的基本方法，這類問題的基礎是分析物體的受力情況和運動情況，難點在于分析臨界狀態，挖掘隱含的臨界條件．