Question

如圖所示，質量為M=1Kg的長滑塊B靜止放在光滑的水平地面上，左邊固定一勁度系數為K=8N/m且足夠長的水平輕質彈簧，右側有一不可伸長的輕繩連接于豎直墻壁上，細線所能承受的最大拉力為T=4N．現使一質量為m=2Kg，初速度為v₀的小物體A，在滑塊B上無摩擦地向左運動，而后壓縮彈簧．（已知彈簧的彈性勢能E_P與彈簧的形變量x的關系：，K為彈簧的勁度系數）
（1）小物體A的速度v₀滿足什么條件，才能使細線被拉斷．
（2）若小物體A的初速度，滑塊B向左的最大加速度為多大．
（3）若小物體A離開滑塊B時相對地面的速度為零，則小滑塊的初速度v₀為多大？

Answer 1

解：（1）設彈簧壓縮量為x₁時，繩被拉斷，即
kx₁=T①
壓縮彈簧過程動能轉化為彈性勢能，依題意有
②
聯立解得： ③
（2）設繩被拉斷瞬時，小物體的速度為V₁，有
④
繩斷后長滑塊加速，小物體減速，當兩者速度相等時，彈簧壓縮量最大為x₂，長滑塊有向左的最大加速度a_m，此過程動量守恒，有：
mv₁=（M+m）v₂ ⑤
根據機械能守恒，有：
⑥
由牛頓第二定律得：kx₂=Ma_m ⑦
聯立①④⑤⑥⑦解得：=8m/s²．⑧
（3）要使小物體離開長滑塊時相對地面速度為零，即彈簧恢復原長時小物體速度為零，此時長物塊速度為v．在繩斷開至彈簧恢復原長過程中，動量守恒，能量守恒，故有
Mv=mv₁ ⑨
⑩
聯立①④⑨⑩解得m-M=
由于，必有m＞M
所以小物體最后離開滑塊時，相對地面速度恰好為零的條件是m＞M且滿足m-M=．
代入數據解得m/s．
答：（1）小物體A的速度v₀滿足v₀＞1m/s，才能使細線被拉斷．
（2）滑塊B向左的最大加速度為8m/s²．
（3）若小物體A離開滑塊B時相對地面的速度為零，則小滑塊的初速度v₀為．
分析：（1）假設繩子不斷，當滑塊速度減為零時，彈性勢能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據機械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）當滑塊與長木板速度相等時，彈力最大，加速度最大；先求解出斷開時滑塊速度，然后根據動量守恒和機械能守恒定律列式聯立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑塊與長木板分離后，速度恰好為零，根據動量守恒定律和機械能守恒定律列式后聯立求解即可．
點評：本題關鍵要分析清楚滑塊和滑板的運動規律，能結合機械能守恒定律和動量守恒定律多次列式后聯立分析，較難．