Question

如圖甲所示，兩根足夠長、電阻不計的光滑平行金屬導軌相距為L₁=1m，導軌平面與水平面成θ=30°角，上端連接阻值R=1.5Ω的電阻；質量為m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的勻質金屬棒ab放在兩導軌上，距離導軌最上端為L₂=4m，棒與導軌垂直并保持良好接觸．整個裝置處于一勻強磁場中，該勻強磁場方向與導軌平面垂直，磁感應強度大小隨時間變化的情況如圖乙所示．（g=10m/s²）
（1）保持ab棒靜止，在0～4s內，通過金屬棒ab的電流多大？方向如何？
（2）為了保持ab棒靜止，需要在棒的中點施加了一平行于導軌平面的外力F，求當t=2s時，外力F的大小和方向；
（3）5s后，撤去外力F，金屬棒將由靜止開始下滑，這時用電壓傳感器將R兩端的電壓即時采集并輸入計算機，在顯示器顯示的電壓達到某一恒定值后，記下該時刻棒的位置，測出該位置與棒初始位置相距2.4m，求金屬棒此時的速度及下滑到該位置的過程中在電阻R上產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）在0～4s內，由法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律求解．
（2）根據法拉第電磁感應定律求出0～4s內感應電動勢，再根據閉合電路歐姆定律求出電流，從而求出安培力，利用棒子的平衡求出外力F的大小和方向．
（3）導體棒由靜止下滑，受重力、支持力、安培力，當下滑的加速度減小為0時，速度穩定，電壓也穩定，根據平衡求出此時的速度，再根據能量守恒求出總熱量，根據電流時刻相同，QR=

R

R+r

Q總．

解答：解：（1）在0～4s內，由法拉第電磁感應定律：
E=

△Φ

△t

=

△B

△t

L1L2=

1

4

×1×4V=1V
由閉合電路歐姆定律：
I=

E

R+r

=

1

1.5+0.5

A=0.5A
方向由a→b．   
（2）當t=2s時，ab棒受到沿斜面向上的安培力F_安=BIL₁=0.5×0.5×1N=0.25N
對ab棒受力分析，由平衡條件：F+F_安-mgsin30°=0
F=mgsin30°-F_安=（0.2×10×0.5-0.25）N=0.75N
方向沿導軌斜面向上．    
（3）ab棒沿導軌下滑切割磁感線產生感應電動勢，有：E′=B′L₁v
產生的感應電流　I′=

E′

R+r

=

B′L1v

R+r

棒下滑至速度穩定時，棒兩段電壓也恒定，此時ab棒受力平衡，
有：mgsin30°=B′I′L₁
解得：v=

mg(R+r)sin30°

B′2L12

=

0.2×10×(1.5+0.5)×0.5

1.02×12

m/s=2m/s
由動能定理，得mgSsin30°-Q總=

1

2

mv2-0
Q總=mgSsin30°-

1

2

mv2=(0.2×10×2.4×0.5-

1

2

×0.2×22)J=2J
∴QR=

R

R+r

Q總=

1.5

1.5+0.5

×2J=1.5J
答：（1）保持ab棒靜止，在0～4s內，通過金屬棒ab的電流是0.5A，方向由a→b．
（2）為了保持ab棒靜止，需要在棒的中點施加了一平行于導軌平面的外力F，求當t=2s時，外力F的大小是0.75N，方向沿導軌斜面向上．    
（3）金屬棒此時的速度是2m/s，下滑到該位置的過程中在電阻R上產生的焦耳熱是1.5J．

點評：解決本題的關鍵掌握法拉第電磁感應定律E=n

△φ

△t

=n

△B

△t

S，以及導體棒切割產生的感應電動勢E=BLv．