Question

如圖甲所示，在坐標系xoy中，y軸左側有沿x軸正向的勻強電場，場強大小為E；y軸右側有如圖乙所示，大小和方向周期性變化的勻強磁場，磁感強度大小B₀已知．磁場方向垂直紙面向里為正．t=0時刻，從x軸上的p點無初速釋放一帶正電的粒子，質量為m，電量為q（粒子重力不計），粒子第一次在電場中運動時間與第一次在磁場中運動的時間相等．求

（1）P點到O點的距離；
（2）粒子經一個周期沿y軸發生的位移；
（3）粒子能否再次經過O點，若不能說明理由．若能，求粒子再次經過O點的時刻；
（4）粒子第4n（n=1、2、3…）次經過y軸時的縱坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，根據勻速圓周運動周期公式及牛頓第二定律與運動學公式即可求解；
（2）由勻速圓周運動半徑公式結合幾何知識，可求出每經一個周期沿y軸發生的位移；
（3）根據幾何關系可確定粒子運動的次數，再由周期公式結合時間關系即可求解；
（4）根據運動軌跡半徑公式，可得每一個周期內沿y軸偏離的位移即可求解；

解答：解：（1）粒子在電場中勻加速運動時間為t₀，
由勻速圓周運動周期公式得，t0=

πm

qB0

由牛頓第二定律，qE=ma  
設OP間距為x，
則有x=

1

2

a

t

2 0

解得：x=

mEπ2

2q B 2 0

（2）粒子圓周運動的半徑分別為R₁和R₂，
由運動軌跡半徑公式得，R1=

mv0

qB0

                      R2=

3mv0

2qB0

粒子每經一個周期沿y軸向下移動△x，
則有，△x=2R2-2R1=

πmE

q B 2 0

（3）當粒子從左側射入向上偏轉時可能再次經過O點，故從O點下方2R₁處入射時，
由幾何關系得，2R₁=N△x 
解得：N=2，粒子能再次經過O點．
因t=2T+2t₀ 
由 T=

6.5πm

qB0

 
解得：t=

15πm

qB0

（4）經分析知粒子每個周期4次經過y軸，每個周期沿y軸移動距離為△x，
故
y=-n△x=nR₁  
解得：y=-

nmπE

q B 2 0

(n=1、2、3…)
答：（1）P點到O點的距離為

mEπ2

2q B 2 0

；
（2）粒子經一個周期沿y軸發生的位移為

πmE

q B 2 0

；
（3）粒子能，則粒子再次經過O點的時刻為

15πm

qB0

；
（4）粒子第4n（n=1、2、3…）次經過y軸時的縱坐標為-

nmπE

q B 2 0

(n=1、2、3…)．

點評：本題重點考查學生對勻速圓周運動中的周期與半徑公式熟練掌握，同時還由牛頓第二定律與運動學公式相結合來處理類平拋運動問題．并注意運動的周期性，及由幾何知識來確定已知長度與軌跡半徑的關系．