Question

如圖所示，兩平行金屬板水平放置，板間存在豎直向下的勻強電場．一帶電粒子以初速度V₀沿上板邊緣垂直于電場線射入勻強電場，它剛好貼著下板邊緣飛出．已知勻強電場兩極板長L，間距為d，（粒子的重力忽略不計）求：
（1）如果帶電粒子的初速度變為2V₀，則離開電場時，沿場強方向的側向位移y為多少？
（2）如果帶電粒子的初速度變為2V₀，粒子離開電場后繼續運動，當它的豎直位移仍為d時，它的水平位移x為多少？
（3）如果帶電粒子的初速度變為2V₀，粒子離開電場時動能與帶電粒子以初速度V₀射入勻強電場后離開電場時動能之比？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子垂直于電場線射入勻強電場，只受電場力作用，做類平拋運動．根據運動學公式分別列出水平位移和豎直位移表達式，運用比例法，求出初速度變為2V₀，粒子離開電場時，沿場強方向的側向位移y．
（2）粒子離開電場后速度反向延長線交上板的中點，根據三角知識求出速度偏向角與位移、板長的關系，再求出水平位移x．
（3）根據動能定理分別兩種情況下粒子離開電場時的動能，再結合初動能與板間電壓的關系，求解粒子離開電場時動能之比．

解答：解：
（1）帶電粒子的初速度為v₀時，
     水平方向：L=v₀t₁
     豎直方向：d=

1

2

a

t

2 1

聯立得到，d=

1

2

a(

L

v0

)2
帶電粒子的初速度變為2V₀時，
    水平方向：L=2v₀t₂
    豎直方向：y=

1

2

a

t

2 2

聯立得到，y=

1

2

a(

L

2v0

)2=

1

4

d
（2）帶電粒子的初速度變為2v₀，粒子離開電場時速度的偏向角為φ．根據推論可知，粒子離開電場時速度的反向延長線交于上板的中點．則根據幾何知識有
   tanφ=

d 4

L 2

=

d

2L

，又tanφ=

d

LAB

  
 解得 L_AB=2L
所以x=0.5L+L_AB=2.5L
（3）根據動能定理得，

v0入射時：qu=Ek1- 1 2 m v 2 0 2v0入射時：q u 4 =Ek2- 1 2 m(2v0)2

由第（1）問d=

1

2

a(

L

v0

)2，a=

qu

md

得

剛好貼著下板邊緣飛出有： d= quL2 2m v 2 0 d

聯立解得：

Ek2

Ek1

=

d2+4L2

4d2+L2

答：
（1）帶電粒子的初速度變為2V₀，離開電場時，沿場強方向的側向位移y為

1

4

d．
（2）帶電粒子的初速度變為2V₀，粒子離開電場后繼續運動，當它的豎直位移仍為d時，它的水平位移x為2.5L．
（3）如果帶電粒子的初速度變為2V₀，粒子離開電場時動能與帶電粒子以初速度V₀射入勻強電場后離開電場時動能之比

Ek2

Ek1

=

d2+4L2

4d2+L2

．

點評：本題是類平拋運動問題，應用了力學中牛頓第二定律、運動學公式、動能定理等多個規律．對于第（2）問也可以根據三角形相似法求出水平位移．