Question

分如圖所示，質量m的小物體，從光滑曲面上高度H處釋放，到達底端時水平進入軸心距離L的水平傳送帶，傳送帶可由一電機驅使順時針轉動。已知物體與傳送帶間的動摩擦因數為μ。求：

⑴求物體到達曲面底端時的速度大小v₀？
⑵若電機不開啟，傳送帶不動，物體能夠從傳送帶右端滑出，則物體滑離傳送帶右端的速度大小v₁為多少？
⑶若開啟電機，傳送帶以速率v₂(v₂＞v₀)順時針轉動，且已知物體到達傳送帶右端前速度已達到v₂，則傳送一個物體電動機對傳送帶多做的功為多少？

Answer 1

⑴v₀＝；⑵v₁＝；⑶

試題分析：⑴物體在曲面上下滑的過程中，只有重力做功，根據動能定理有：mgH＝－0
解得物體到達曲面底端時的速度為：v₀＝         ①
⑵物體在水平傳送帶上滑動時受滑動摩擦力f作用，且只有滑動摩擦力做功，有：f＝μmg         ②
根據動能定理有：－fL＝－        ③
由①②③式聯立解得物體滑離傳送帶右端的速度為：v₁＝
⑶當開啟電機，傳送帶以速率v₂(v₂＞v₀)順時針轉動時，物體在水平傳送帶上受到向右的滑動摩擦力作用而做勻加速直線運動至與傳送帶速度相等，后再勻速運動至右端，勻速運動階段不受滑動摩擦力作用，設物體加速運動的加速度為a，時間為t，位移為x₁，根據牛頓第二定律有：f＝ma  ④
根據加速度定義式有：a＝      ⑤
對物塊根據動能定理有：fx₁＝－      ⑥
皮帶移動的距離為：x₂＝v₂t           ⑦
因物塊在皮帶上滑動產生的內能為：Q＝f(x₂－x₁)        ⑧
根據功能關系可知，傳送一個物體電動機對傳送帶多做的功為：W＝Q＋－           ⑨
由②④⑤⑥⑦⑧⑨式聯立解得：W＝