Question

如圖，在xoy平面內，MN和x軸之間有平行于y軸的勻強電場，方向向下，在 xoy平面的第一象限內有垂直向里的勻強磁場．y軸上離坐標原點4L的A點處有一電子槍，可以沿+x方向射出速度為v₀的電子（質量為m，電量為e）．如果電場和磁場同時存在，電子將做勻速直線運動，不計重力的影響．
（1）如果撤去電場，只保留磁場，電子將從x軸上距坐標原點3L的C點離開磁場．求磁感應強度B和電場強度E的大小各多大．
（2）如果撤去磁場，只保留電場，電子將從D離開電場．求D點的橫坐標．
（3）如果撤去電場，只保留磁場，電子速度變為V，求電子在磁場中的運動時間．

Answer 1

（1）只有磁場時，電子運動軌跡如圖1所示
洛倫茲力提供向心力  Bev₀=m

v 20

R

由幾何關系 R²=（3L）²+（4L-R）²
解得：B=

8mv0

25eL

電子做勻速直線運動  Ee=Bev₀                        
解得：E=

8m v 20

25eL

（2）只有電場時，電子從MN上的D點離開電場，如圖2所示
設D點橫坐標為x    x=v₀t                           
2L=

1

2

eE

m

t2
求出D點的橫坐標為x=

5 2

2

L≈3.5L
（3）分四種情況
轉動周期為：T=

2πm

eB

，半徑為：r=

mv

eB

①當半徑r≤2L，速度v≤

2eBL

m

時，電子將從y軸上的某點離開磁場，如圖3，
運動時間為半個周期，
t1=

T

2

=

πm

eB

=

25πL

8v0

②當半徑2L＜r＜4L，電子速度

2eBL

m

＜v＜

4eBL

m

時，電子將從x軸上某點離開磁場．如圖4．
圓心角為θ₁=π-α，由幾何關系知：cosα=

4L-r

r

=

4eBL

mv

-1
所以，運動時間為：t2=

π-α

2π

T=

25L

8v0

(π-arccos(

32v0

25v

-1))
③當r=4L時，速度v=

4eBL

m

，電子將垂直x軸離開磁場．
如圖5，運動時間為四分之一個周期，t3=

T

4

=

πm

2eB

=

25πL

16v0

④當r＞4L時，速度v＞

4eBL

m

，電子將從x軸上某點離開磁場．如圖6．
設此時的圓心為O′在坐標原點之下，由圖可知，圓心角為θ₂，cosθ2=

OO′

r

=

r-4L

r

=1-

4eBL

mv

所以，運動時間為：t4=

θ2

2π

?T=

25L

8v0

arccos(1-

32v0

25v

)
答：（1）如果撤去電場，只保留磁場，電子將從x軸上距坐標原點3L的C點離開磁場．求磁感應強度

8mv0

25eL

和電場強度E的大小

8m v 20

25eL

．
（2）如果撤去磁場，只保留電場，電子將從D離開電場．則D點的橫坐標3.5L．
（3）如果撤去電場，只保留磁場，電子速度變為V，則電子在磁場中的運動時間如上時間表述．