Question

（2009?江蘇模擬）如圖（A）所示，固定于水平桌面上的金屬架cdef，處在一豎直向下的勻強磁場中，磁感強度的大小為B₀，金屬棒ab擱在框架上，可無摩擦地滑動，此時adeb構成一個邊長為l的正方形，金屬棒的電阻為r，其余部分的電阻不計．從t=0的時刻起，磁場開始均勻增加，磁感強度變化率的大小為k（k=

△B

△t

）．求：

（1）用垂直于金屬棒的水平拉力F使金屬棒保持靜止，寫出F的大小隨時間 t變化的關系式．
（2）如果豎直向下的磁場是非均勻增大的（即k不是常數），金屬棒以速度v₀向什么方向勻速運動時，可使金屬棒中始終不產生感應電流，寫出該磁感強度B_t隨時間t變化的關系式．
（3）如果非均勻變化磁場在0-t₁時間內的方向豎直向下，在t₁-t₂時間內的方向豎直向上，若t=0時刻和t₁時刻磁感強度的大小均為B₀，且adeb的面積均為l²．當金屬棒按圖（B）中的規律運動時，為使金屬棒中始終不產生感應電流，請在圖（C）中示意地畫出變化的磁場的磁感強度B_t隨時間變化的圖象（t₁-t₀=t₂-t₁＜

l

v

）．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律求出感應電動勢的大小，結合閉合電路歐姆定律求出感應電流的大小，抓住外力F與安培力相等求出外力F與時間的關系式．
（2）要使金屬棒中不產生感應電流，抓住回路中的磁通量變化量為零，求出磁感應強度隨時間的變化的關系式．
（3）抓住磁通量變化量為零，得出磁感應強度的表達式，從而得出磁感應強度隨t的變化圖象．

解答：解：（1）ε=

△φ

△t

=

△B

△t

S=kl²          I=

ε

r

=

kl2

r

       
因為金屬棒始終靜止，在t時刻磁場的磁感強度為B_t=B₀+kt，所以
F_外=F_A=BIl=（ B₀+kt ）

kl2

r

l=B₀ 

kl3

r

+

k2l3

r

t        方向向右     
（2）根據感應電流產生的條件，為使回路中不產生感應電流，回路中磁通量的變化應為零，
因為磁感強度是逐漸增大的，所以金屬棒應向左運動（使磁通量減小）  
即：△φ=0，即△φ=B_tS_t-B₀S₀，
也就是  B_t l（l-vt ）=B₀l²    
得     B_t=

B0l

l-vt

                 
（3）如果金屬棒的右勻速運動，因為這時磁感強度
是逐漸減小的，同理可推得，
B_t=

B0l

l+vt

．                   
所以磁感強度隨時間變化的圖象如右圖（t₂時刻B_t不為零）
答：（1）F的大小隨時間 t變化的關系式為B₀

kl3

r

+

k2l3

r

t．
（2）磁感強度B_t隨時間t變化的關系式 B_t=

B0l

l-vt

．
（3）如圖所示．

點評：本題根據法拉第電磁感應定律求解感應電動勢，由歐姆定律和安培力公式推導安培力的表達式，是常用的方法和思路．當回路中沒有感應電流產生時，回路總的磁通量應保持不變．