Question

【題目】如圖所示，半徑為的四分之三圓周軌道固定在豎直平面內，為圓軌道的圓心，為圓軌道的最高點，圓軌道內壁光滑，圓軌道右側的水平面與圓心等高。質量為的小球從離點高度為處（）的點由靜止開始下落，從點進入圓軌道，重力加速度為）。

（1）小球能否到達點？試通過計算說明；

（2）求小球在最高點對軌道的壓力范圍；

（3）通過計算說明小球從點飛出后能否落在水平面上，若能，求落點與點水平距離的范圍。

Answer 1

【答案】（1）小球能到達點；（2）；（3）

【解析】

（1）當小球剛好通過最高點時應有：

由機械能守恒可得：

聯立解得，因為的取值范圍為，小球能到達點；

（2）設小球在點受到的壓力為，則

聯立并結合的取值范圍解得：

據牛頓第三定律得小球在最高點對軌道的壓力范圍為：

（3）由（1）知在最高點速度至少為

此時小球飛離后平拋，有：

聯立解得，故能落在水平面上，

當小球在最高點對軌道的壓力為時，有：

解得

小球飛離后平拋，

聯立解得

故落點與點水平距離的范圍為：