Question

【題目】如圖所示，豎直平面內的 3/4 圓弧形光滑管道半徑略大于小球半徑，管道中心到圓心距離為 R， A 端與圓心 O 等高，AD 為水平面，B 端在 O 的正下方，小球自 A 點正上方由靜止釋放，自由下落至 A 點時進入管道

(1)如果管道與小球接觸的內側壁(圖中較小的 3/4 圓周)始終對小球沒有彈力，小球釋放點距離 A 點的最小 高度為多大?

(2)如果小球到達 B 點時，管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的 9 倍。求：

a．釋放點距 A 點的豎直高度

b．落點 C 與 A 的水平距離

Answer 1

【答案】（1）1.5R；（2）a.3R ；b. （2-1）R；

【解析】

（1）如果管道與小球接觸的內側壁始終對小球沒有彈力，則小球到達最高點時的最小速度滿足：mg=m；

從開始下落到到達管的最高點，由機械能守恒：

解得：hA=1.5R，

則小球釋放點距離A點的最小高度為1.5R.

（2）a.在B點，管壁對小球的彈力F=9mg，
小球做圓周運動，由牛頓第二定律可得：F-mg=m，
從小球開始下落到達B點的過程中，由動能定理可得：mg（h+R）=mvB2-0，
解得，h=3R；
b.小球從B點到達管道最高點過程中，由動能定理可得：-2mgR=mv′2-mvB2，
小球離開管道后做平拋運動，在豎直方向上：R=gt2，
在水平方向上：x=v′t，
解得：x=2R，
落點C與A的水平距離為（2-1）R；