Question

（2011?浙江模擬）如圖所示為放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37⁰．現有一質量為m=1kg的小環穿在滑軌上，以某一初速度從B點開始沿AB向上運動，并恰能通過滑軌最高點．設小環與兩段直軌道間的動摩擦因數均為μ=

1

3

，經過軌道連接
處均無能量損失．（g=

10m

s2

，sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，tan18.5°=

1

3

，cot18.5°=3）求：
（1）小球的初速度v₀；
（2）小球第一次到達圓弧C點時對軌道的壓力；
（3）小球最后停在何處．

Answer 1

分析：從圖形中幾何關系找出APD的半徑為R．
運用動能定理研究小球圓弧的最高點到第一次到軌道上C點求出C點速度．
小球在C點進行受力分析運用牛頓第二定律求解．

解答：解：（1）R=Ltan18.5°+r=2m
（或R+R?cos37°=r+rcos37°+L?sin37°）
解得：R=2m
要使小球過大圓弧的最高點，到達圓弧的最高點的臨界速度為0．
運用動能定理研究從B點到圓弧的最高點：
0-

1

2

m

v

2 0

=-mgR(1-cosθ)-mgLsinθ-μmgLcosθ
代入數據解得v0=2

15

m/s
（2）運用動能定理研究小球圓弧的最高點到第一次到軌道上C點：
mg2R-μmgL=

1

2

m

v

2 c

小球在C點進行受力分析運用牛頓第二定律得：
FN-mg=m

v 2 c

r

代入數據解得F_N=7mg=70N
由牛頓第三定律得：對軌道的壓力F'_N=70N，
（3）由第一問分析可知，小球再次到達B點時還有動能，設小球沿AB向上運動的位移為s
則有：

1

2

m

v

2 0

=μmgcosθ(L+s)+μmgL+mgssinθ
代入數據解得s=

18

13

m=1.38m
小球繼續向下運動，到B點時的動能為E_KB=E_K0-μmgcosθ（L+2s）-μmgL
代入解得E_KB=4.6J
因E_KB＜2μmgL，故小球無法繼續上升到B點，滑到BQC某處后開始下滑，之后受摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點．
由動能定理：E_kc=μmgx
解得：x=0.78m
小球最后停在C點左側距C點0.78m處．
答：（1）小球的初速度v₀為2

15

m/s；
（2）小球第一次到達圓弧C點時對軌道的壓力是70N；
（3）小球最后停在C點左側距C點0.78m處．

點評：一個題目可能需要選擇不同的過程多次運用動能定理研究．
圓周運動問題關鍵要通過受力分析找出向心力的來源列出等式解決問題．