Question

【題目】如圖所示，ab、ef是固定在絕緣水平桌面上的平行光滑金屬導軌，導軌足夠長，導軌間距為d．在導軌ab、ef間放置一個阻值為R的金屬導體棒PQ．其質量為m，長度恰好為d．另一質量為3m、長為d的金屬棒MN也恰好能和導軌良好接觸，起初金屬棒MN靜止于PQ棒右側某位置，盛個裝置處于方向垂直桌面向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場中．現有一質量為m、帶電荷量為q的光滑絕緣小球在桌而上從O點（O為導軌上的一點）以與可成60°角的方向斜向右方進人磁場，隨后小球垂直地打在金屬棒MN的中點，小球與金屬棒MN的碰撞過程中無機械能損失，不計導軌間電場的影響，不計導軌和金屬棒MN的電阻，兩桿運動過程中不相碰，求：

（1）小球在O點射人磁場時的初速度v0

（2）金屬棒PQ上產生的熱量E和通過的電荷量Q

（3）在整個過程中金屬棒MN比金屬棒PQ多滑動的距離

（4）請通過計算說明小球不會與MN棒發生第二次碰撞；

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（4）小球不會與MN桿發生第二次碰撞。

【解析】

光滑絕緣小球在水平桌面上做勻速圓周運動，由幾何關系可求半徑，牛頓第二定律求出小球在O點射人磁場時的初速度；小球與MN桿發生彈性碰撞，根據動量守恒和機械能守恒求出碰后小球速度和MN桿速度，此后桿MN與桿PN組成的系統動量守恒，根據能量守恒定律求解PQ上產生的熱量，對桿PQ應用動量定理求得金屬棒PQ通過的電荷量；根據電荷量公式求解在整個過程中金屬棒MN比金屬棒PQ多滑動的距離；球與MN碰后，球碰后做圓周運動，這段時間內桿MN減速運動，與PQ同速后做運勻速動，由此判斷小球不會與MN桿發生第二次碰撞；

（1）如圖所示，可得：光滑絕緣小球在水平桌面上做勻速圓周運動的半徑設為r，

由圖可知：

得：

由牛頓第二定律可得：

得：

（2）由題可知小球與MN桿發生彈性碰撞，設碰后小球速度為，MN桿速度為，可得：

聯立可得：

此后桿MN與桿PN組成的系統動量守恒，共速度時速度設為，則有：

可得：

由能量守恒定律可知PQ上產生的熱量：

對桿PQ應用動量定理可得：

即：

得：

（3）由

得桿MN比桿PQ多滑動的距離：

（4）由（2）可知球與MN碰后，小球的速度為：， 桿MN的速度為：

小球碰后做圓周運動的半徑：

運動半個周期的時間為：

這段時間內桿MN減速到與PQ同速，最小速度為，則其位移：

此后桿MN一直向左運動，故小球不會與MN桿發生第二次碰撞。