Question

（2013?廈門一模）如圖所示，MN為兩平行金屬板，O、O為兩金屬板中心處正對的兩個小孔，N板的右側空間有磁感應強度大小均為B且方向相反的兩勻強磁場區，圖中N板與虛線CD、PQ為兩磁場邊界線，三條界線平行，兩磁場區域的寬度分別為d和3d，沿邊界線方向磁場區域足夠大．在兩金屬板上加上大小可調節的直流電壓，質量為m、電量為-q的帶電粒子（重力不計）；從O點由靜止釋放，經過MN板間的電場加速后，從O'沿垂直于磁場方向射入磁場，若粒子能穿過CD界并進入CD右側磁場但不能穿過PQ界，最終打到N板而結束運動，試求：
（1）粒子要能穿過CD界并進入CD右側磁場，MN板間的電壓至少要大于多少；
（2）粒子不穿過PQ界，粒子從O射入磁場所允許的最大速率；
（3）最大速率射入磁場的粒子在磁場中運動的總時間．

Answer 1

分析：先由動能定理求出加速場中加速后獲得的速度的表達式；由幾何關系確定半徑然后由根據牛頓第二定律列方程；
先畫出粒子在右邊磁場的運動軌跡，相切時為臨界情況，由幾何關系確定半徑，然后求得速度v；
確定出粒子偏轉的圓心角，然后根據周期公式求運動時間．

解答：解：（1）設MN間電壓為U₀時，若粒子在CD左側磁場中運動的圓弧與CD界相切，如圖甲，
粒子經電場加速：qU₀=

1

2

mv₀²
在磁場中運動的圓周半徑：r₀=d
qBv₀=m

v02

r0

由上述得：U₀=

qB2d2

2m

粒子要穿過C界，電壓應大于：

qB2d2

2m

．
（2）設粒子射入磁場速度為v時，粒子在CD左側軌跡圓心為O₁，右側軌跡圓心為O₂且圓弧與PQ相切，恰好不射出PQ界，
如圖乙，
有：左右兩圓周半徑相同，均為r=2d
qBv=

mv2

r

得：v=

2qBd

m

（3）由圖得圓弧圓心角為θ=

π

6

，α=

4π

3

粒子圓周運動周期：T=

2πr

v

=

2πm

qB

粒子經過三段圓弧運動時間分別為：
t₁=t₃=

θ

2π

T
t₂=

α

2π

T
在磁場中運動總時間：t=t₁+t₂+t₃=

5πm

3qB

答：（1）粒子要能穿過CD界并進入CD右側磁場，MN板間的電壓至少要大于：

qB2d2

2m

；
（2）粒子不穿過PQ界，粒子從O射入磁場所允許的最大速率為

2qBd

m

；
（3）最大速率射入磁場的粒子在磁場中運動的總時間為

5πm

3qB

．

點評：本題考查了帶電粒子在磁場中的圓周運動，關鍵是能畫出臨界情況的運動軌跡．