Question

【題目】如圖甲所示，一長為l=1m的輕繩，一端穿在過O點的水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球，整個裝置繞O點在豎直面內轉動。給系統輸入能量，使小球通過最高點的速度不斷加快，通過傳感器測得小球通過最高點時，繩對小球的拉力F與小球在最高點動能Ek的關系如圖乙所示，重力加速度為g，不考慮摩擦和空氣阻力，請分析并回答以下問題：

(1)若要小球能做完整的圓周運動，對小球過最高點的速度有何要求？（用題中給出的字母表示）。

(2)請根據題目及圖像中的條件求出小球質量m的值。（g取10m/s2）

(3)求小球從圖中a點所示狀態到圖中b點所示狀態的過程中，外界對此系統做的功。

(4)當小球達到圖乙中b點所示狀態時，立刻停止能量輸入。之后的運動過程中，在繩中拉力達到最大值的位置，輕繩繃斷，求繃斷瞬間繩中拉力的大小。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】試題分析：（1）小球剛好通過最高點做完整的圓周運動要求在最高點受力滿足：

因此小球過最高點的速度要滿足：。

（2）小球在最高點時有：又因為：，

所以繩對小球的拉力F與小球在最高點動能Ek的關系式為：

由圖像知，當時，，代入上式得到：；又已知，則小球的質量。

（3）由知：圖線的斜率值為，因此對應狀態b，，可求出小球在最高點的動能，由，得到：。

（或：由，將、、代入，可求得：）

對小球從狀態a到狀態b的過程，有：外界對系統做的功為。

（4）在停止能量輸入之后，小球在重力和輕繩拉力作用下在豎直面內做圓周運動，運動過程中機械能守恒。當小球運動到最低點時，繩中拉力達到最大值。

設小球在最低點的速度為v，對從b狀態開始至達到最低點的過程應用機械能守恒定律，有：；

設在最低點繩中拉力為Fm，由牛頓第二定律有：

兩式聯立解得：。

即繃斷瞬間繩中拉力的大小為。