Question

如圖所示，在平行板電容器的兩板之間，存在相互垂直的勻強磁場和勻強電場，磁感應強度B₁=0.40T，方向垂直紙面向里，電場強度E=2.0×10⁵V/m，PQ為板間中線．緊靠平行板右側邊緣xOy坐標系的第一象限內，有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B₂=0.25T，磁場邊界AO和y軸的夾角∠AOy=45°．一束帶電量q=8.0×10^-19C的同位素正離子從P點射入平行板間，沿中線PQ做直線運動，穿出平行板后從y軸上坐標為（0，0.2m）的Q點垂直y軸射入磁場區，離子通過x軸時的速度方向與x軸正方向夾角在45°～90°之間，不計離子重力，求：
（1）離子運動的速度為多大？
（2）x軸上被離子打中的區間范圍？
（3）離子從Q運動到x軸的最長時間？
（4）若只改變AOy區域內磁場的磁感應強度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應強度大小B₂′應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）同位素正離子從P點射入平行板間，沿中線PQ做直線運動，說明所受電場力和洛倫茲力相等，即可求得速度；
（2）粒子進入磁場后做圓周運動，離子通過x軸時的速度方向與x軸正方向夾角在45°～90°之間，分別根據幾何關系求出45°和90°兩個臨界狀態的半徑，進而求出OM和ON的長度，即可求得離子到達x軸的區間范圍；
（3）所有離子速速都相同，當離子運動路程最長時，時間也最長，由圖知當r=0.2m時離子運動時間最長，這段時間分為兩段，一段為勻速圓周運動的一部分，另一段為勻速直線運動．
（4）由qvB =

mv2

r

可知當r=0.2m時，同位素離子質量最大，帶入即可求出最大質量，若質量最大的離子不能穿過直線OA，則所有離子必都不能到達x軸，由圖求出使離子不能打到x軸上的最大半徑，設使離子都不能打到x軸上，最小的磁感應強度大小為B₀，根據qvB0=

mv2

r

求出B₀，B₂′≥B₀．

解答：解：（1）：離子在兩板間時有：qE=qvB₁
  解得：v=5.0×10⁵m/s   
（2）當通過x軸時的速度方向與x軸正方向夾角為45°時，
到達x軸上的M點，如圖所示，則：
r₁=0.2m     所以：OM=

2

r1=0.2

2

m 
當通過x軸時的速度方向與x軸正方向夾角為90°時，
到達x軸上的N點，則：
r₂=0.1m      所以：ON=r₂=0.1m  
所以離子到達x軸的區間范圍是0.1m≤x≤0.2

2

m；   
（3）所有離子速速都相同，當離子運動路程最長時，時間也最長，由圖知當r=r₁時離子運動時間最長，
則：t_m=

πr1

4v

+

r1

v

=7.14×10^-7 s   
（4）由牛頓第二定律有：qvB2=

mv2

r

  則：m=

qrB2

v

   
當r=r₁時，同位素離子質量最大：m1=

qrB2

v

=8.0×10-26kg  
若質量最大的離子不能穿過直線OA，則所有離子必都不能到達x軸，由圖可知使離子不能打到x軸上的最大半徑：r3=

0.2

2 +1

m
設使離子都不能打到x軸上，最小的磁感應強度大小為B₀，則
 qvB0=

m1v2

r3

解得  B₀=

2 +1

4

T=0.60T      
則：B₂?≥0.60T   
答：（1）離子運動的速度為5.0×10⁵m/s；
（2）x軸上被離子打中的區間范圍為0.1m≤x≤0.2

2

m；
（3）離子從Q運動到x軸的最長時間為7.14×10^-7 s；
（4）若只改變AOy區域內磁場的磁感應強度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應強度大小應滿足B₂?≥0.60T．

點評：該題主要考查了帶電粒子在磁場中的運動．要求同學們能正確畫出粒子運動的軌跡，并根據幾何關系求得軌道半徑，能用向心力公式和周期公式解題，難度較大，屬于難題．