Question

（2011?浙江）為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁．總質量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為m₂則（　　）

• A．X星球的質量為M=

  4π2 r 3 1

  G T 2 1

• B．X星球表面的重力加速度為gx=

  4π2r1

  T 2 1

• C．登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為

  v1

  v2

  =

  m1r2 m2r1

• D．登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期為T2=T1

  r 3 2 r 3 1

Answer 1

分析：研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質量．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過不同的軌道半徑進行比較．

解答：解：A、研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式：
G

Mm1

r12

=m1r1(

2π

T1

)2
得出：M=

4π2 r 3 1

GT12

，故A正確．
B、根據圓周運動知識，a=

4π2r1

T12

只能表示在半徑為r₁的圓軌道上向心加速度，而不等于X星球表面的重力加速度，故B錯誤．
C、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有：
在半徑為r的圓軌道上運動：

GmM

R2

=m

v2

R

得出：v=

GM R

，表達式里M為中心體星球的質量，R為運動的軌道半徑．
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為

v1

v2

=

1 r1

1 r2

=

r2 r1

，故C錯誤．
D、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式：
在半徑為r的圓軌道上運動：

GmM

R2

=m

4π2R

T2

得出：T=2π

R3 GM

．表達式里M為中心體星球的質量，R為運動的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的周期大小之比為：

T1

T2

=

r 3 1 r 3 2

，所以T₂=T₁

r 3 2 r 3 1

，故D正確．
故選AD．

點評：求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進行之比．
向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．