Question

（2009?安徽）過山車是游樂場中常見的設(shè)施．下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點），從軌道的左側(cè)A點以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)為0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊．重力加速度取g=10m/s²，計算結(jié)果保留小數(shù)點后一位數(shù)字．試求
（1）小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設(shè)計中，半徑R₃應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點與起點A的距離．

Answer 1

分析：對小球的運動過程進行分析．
運用動能定理求出小球經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度，再對小球在第一個圓軌道的最高點進行受力分析，并利用牛頓第二定律求出軌道對小球作用力．
知道小球恰能通過圓形軌道的含義，并能找出在第二圓形軌道的最高點速度．運用動能定理研究某一運動過程求出B、C間距L．
知道要使小球不能脫離軌道的含義：1、小球恰能通過第三個圓軌道，2、軌道半徑較大時，小球不能通過第三個圓軌道，但是還要不能脫離軌道，那么小球上升的高度就不能超過R₃
應(yīng)用動能定理研究整個過程求出兩種情況下的問題．

解答：解：（1）設(shè)小球經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁根據(jù)動能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀² ①
小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律有：
             F+mg=m

v 2 1

R1

        ②
由 ①、②得               F=10.0 N  ③
（2）設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v₂，由小球恰能通過第二圓形軌道有：
                 mg=m

v 2 2

R2

     ④
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₀²  ⑤
由④、⑤得             L=12.5m    ⑥
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：
 I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設(shè)在最高點的速度為v₃，應(yīng)滿足
               mg=m

v 2 3

R3

  ⑦
-μmg（L₁+2L）-2mgR₃=

1

2

mv₃²-

1

2

mv₀² ⑧
由 ⑥、⑦、⑧得            R₃=0.4m
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動能定理
-μmg（L₁+2L）-mgR₃=0-

1

2

mv₀²             
解得                   R₃=1.0m
為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應(yīng)滿足
                （R₂+R₃）²=L²+（R₃-R₂）²
解得               R₃=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件
  0＜R₃≤0.4m或  1.0m≤R₃≤27.9m
當0＜R₃≤0.4m時，小球最終停留點與起始點A的距離為L′，則
-μmgL′=0-

1

2

mv₀²     
             L′=36.0m
當1.0m≤R₃≤27.9m時，小球最終停留點與起始點A的距離為L〞，則
                 L″=L′-2（L′-L₁-2L）=26.0m
答：（1）小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小為10.0N；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是12.5m；
（3）第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件  0＜R₃≤0.4m或  1.0m≤R₃≤27.9m
當0＜R₃≤0.4m時，小球最終停留點與起始點A的距離為36.0m
當1.0m≤R₃≤27.9m時，小球最終停留點與起始點A的距離為26.0m．

點評：選取研究過程，運用動能定理解題．動能定理的優(yōu)點在于適用任何運動包括曲線運動．
知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．