Question

如圖所示，在坐標原點O處，能向四周均勻發射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶正電粒子．在O點右側有一半徑為R的圓形薄板，薄板中心O′位于x軸上，且與x軸垂直放置，薄板的兩端M、N與原點O正好構成等腰直角三角形．已知帶電粒子的質量為m，帶電量為q，速率為v，重力不計．
（1）要使y軸右側所有運動的粒子都能打到薄板MN上，可在y軸右側加一平行于x軸的勻強電場，則場強的最小值E₀為多大？在電場強度為E₀時，打到板上的粒子動能為多大？
（2）要使薄板右側的MN連線上都有粒子打到，可在整個空間加一方向垂直紙面向里的勻強磁場，則磁場的磁感應強度不能超過多少（用m、v、q、R表示）？若滿足此條件，從O點發射出的所有帶電粒子中有幾分之幾能打在板的左邊？

Answer 1

分析：（1）要使y軸右側所有運動粒子都能打在 MN板上，其臨界條件為：沿y軸方向運動的粒子作類平拋運動，且落在M或N點．根據牛頓第二定律求出電場強度的最小值，根據動能定理求解打到板上粒子的動能．
（2）加勻強磁場后，粒子沿逆時針方向做勻速圓周運動，當軌跡以O′為圓心同時過M、N兩點時，軌跡直徑最小，得到粒子圓周運動的半徑，由牛頓第二定律求出B的最大值．從O點向第四象限發射出的粒子均能打在MN板的左側，占發射粒子總數的

1

4

．

解答：解：（1）由題意知，要使y軸右側所有運動粒子都能打在 MN板上，其臨界條件為：沿y軸方向運動的粒子作類平拋運動，且落在M或N點．
  沿y軸方向，R=vt 
  沿x軸方向，R=

1

2

at²  
加速度    a=

qE0

m

解得E₀=

2mv2

qR

由動能定理知  qE₀R=E_k-

1

2

mv2
解得E_k=

5

2

mv2
（2）加勻強磁場后，粒子沿逆時針方向做勻速圓周運動，當軌跡以O′為圓心同時過M、N兩點時，軌跡直徑最小（如圖所示），且等于MN，即軌跡半徑r=R，
由牛頓第二定律得  qvB=m

v2

r

解得  B=

mv

qR

即磁感應強度不能超過

mv

qR

．
從O點向第四象限發射出的粒子均能打在MN板的左側，占發射粒子總數的

1

4

．
答：（1）場強的最小值E₀為

2mv2

qR

，打到板上的粒子動能為

5

2

mv2；
（2）磁感應強度不能超過

mv

qR

，從O點向第四象限發射出的粒子均能打在MN板的左側，占發射粒子總數的

1

4

．

點評：本題中粒子在電場中做類平拋運動時運用運動的合成和分解法研究，在磁場中要通過畫出軌跡，確定臨界條件求解磁感應強度．