Question

一根長約l的均勻細桿可以繞通過其一端的水平軸O在豎直平面內轉動，桿最初處在水平位置.桿上距O為a處放有一小物體B（可視為質點），桿與其上小物體最初均處于靜止狀態，如圖5-9所示.若此桿突然以勻角速度ω繞O軸轉動，問當ω取什么值時，小物體與桿可能相碰？

圖5-9

Answer 1

解析：桿開始轉動后,兩物體的運動狀態分別為：A做勻速運轉,B做自由落體運動.若B能與桿相碰,只可能在B下落的豎直線上.那么,桿轉動的高度范圍就被確定,為如上圖所示的φ角區域.

我們分兩種情況進行討論：

（1）當桿的轉速ω較小時,物體B有可能追上細桿而與細桿相碰.設物體B下落到C的時間為t₁,桿轉過φ角所用時間為t₂,兩物要能相碰,t₁和t₂就滿足下列條件：t₁≤t₂              ①

    又因為  φ=ωt₂由幾何關系,lcosφ=a,所以，解之得：

    由φ=ωt₂=arccos解得，將t₁、t₂代入①式,得

    解得.

（2）當桿的轉速ω較大時,桿轉過一周后有可能追上B而與物體B相碰,設桿轉過φ角所用的時間為t₂′,桿要與B相碰,t₂′和t₁必須滿足下列條件：t₂′≤t₁             ②

    由2π+φ=ωt₂′

    所以代入②式得解之得

    由以上分析可知,當桿轉動的角速度滿足：

    或時,物體B均有可能和細桿相碰.

答案：或