Question

【題目】如圖所示，一輕質彈簧固定在豎直墻上，質量為m的滑塊（可視為質點）放置在光滑水平面上，一表面光滑，半徑為R的半圓形軌道固定在水平面上，左端與水平面平滑連接，在半圓軌道右側有一傾角為斜面固定在水平地面上，有一不計厚度，長度為，質量為M木板恰好能靜止在斜面上，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，木板下端距斜面底端為，下列操作中，彈簧始終在彈性限度之內，重力加速度為g。

（1）用水平力緩慢推m，使彈簧壓縮到一定程度，然后釋放，m恰能運動到圓軌道P處脫離軌道，且OP與豎直方向夾角為。求：（I）彈簧壓縮最短時彈性勢能（2）m通過圓軌道最高點Q時對軌道壓力。

（2）再次用力緩慢推m壓縮彈簧，釋放后，m運動到Q點水平拋出，恰好能以速度沿平行于斜面方向落到木板頂端，當木板下端下滑到斜面底端時，m恰好滑至木板下端，且與木板速度相等。求：木板從開始運動到木板下端到達斜面底端過程中，系統損失的機械能。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】試題分析：當m運動到P處，由牛頓第二定律求出P處的速度，再由能量守恒定律求出彈性勢能；由能量守恒求出Q點的速度，由牛頓第二定律求出Q點的壓力；由題意可知m相對M滑動過程中，m、M系統在斜面方向上動量守恒，動量守恒求出共同的速度，再由能量守恒求出系統損失的機械能。

（1）設m到達P處速度為，由牛頓第二定律：

設彈簧彈性勢能為，由能量守恒定律有

聯立解得

（2）設m到達Q處速度為，由能量守恒可知

在Q處，設軌道對m支持力為，由牛頓第二定律可得：

聯立以上可得：

根據牛頓第三定律可得知m對軌道壓力大小為：

（2）由題意可知m相對M滑動過程中，m、M系統在斜面方向上動量守恒，設M到達斜面底端速度為，由動量守恒可得：

從m滑上木板到木板到達斜面底端過程中，設系統損失機械能為Q，

由能量守恒可得：

聯立解得：