Question

如圖所示，兩根相距為d足夠長的平行光滑金屬導軌位于水平的xoy平面內，導軌與x軸平行，一端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側存在豎直向下的勻強磁場，一電阻為r的金屬直桿與金屬導軌垂直放置，并可在導軌上滑動．開始時，金屬直桿位于x=0處，現給金屬桿一大小為v₀、方向沿x軸正方向的初速度．在運動過程中有一大小可調節的平行于x軸的外力F作用在金屬桿上，使金屬桿保持大小為a、方向沿x軸負方向的恒定加速度運動．金屬軌道電阻可忽略不計．
求：
（1）金屬桿減速過程中到達x=x₀處位置時金屬桿的感應電動勢E；
（2）回路中感應電流方向發生改變時，金屬桿在軌道上的位置；
（3）若金屬桿質量為m，請推導出外力F隨金屬桿在x軸上的位置（x）變化關系的表達式．

Answer 1

分析：（1）由題得知，金屬桿做勻減速運動，由運動學公式可求出在x=x₀處位置時金屬桿的速度，由E=Bdv求出感應電動勢．
（2）回路中感應電流方向發生改變時，桿的速度方向將發生改變，此時桿的速度為零，由運動學公式求出位移．
（3）分金屬桿沿x軸正方向和負方向兩個過程研究．由運動學公式得到速度與x的關系式，由E=Bdv、I=

E

R+r

、F=BIL推導出安培力與x的關系，根據牛頓第二定律求出外力F與x的關系式．

解答：解：（1）設金屬桿到達x₀處時，其速度為v₁，由運動學公式

v

2 1

-

v

2 0

=-2ax0 
解得：v1=

v 2 0 -2ax0

  
故金屬桿的感應電動勢為  E=Bdv₁=Bd

v 2 0 -2ax0

（2）當金屬桿的速度減小到零時，回路中感應電流方向改變，設此時金屬桿的位置為x_m
由運動學公式得 

v

2 0

=2axm
解得  xm=

v 2 0

2a

（3）在金屬桿沿x軸正方向運動的過程中，設金屬桿到達x處時，速度大小為v，則
   v=

v 2 0 -2ax

            
金屬桿的感應電動勢為E=Bdv
回路中的感應電流為I=

E

R+r

金屬桿受到的安培力為F_A=BId，方向為x軸負方向
設x負方向為正方向，由牛頓第二定律得  F+F_A=ma
外力F隨金屬桿的位置x變化的關系為：F=ma-

B2d2 v 2 0 -2ax

R+r

       
在金屬桿沿x軸負方向運動的過程中，設金屬桿到達x處時，速度大小為v，根據勻變速直線運動的對稱性可知，v=

v 2 0 -2ax

同理，此金屬桿的感應電動勢為E=Bdv，
金屬桿所受的安培力為：F_A=BId=

B2d2 v 2 0 -2ax

R+r

，方向為x軸正方向
設負x方向為正方向，由牛頓第二定律F-F_A=ma
外力F隨金屬桿位置x變化的關系為：F=ma+

B2d2 v 2 0 -2ax

R+r

答：
（1）金屬桿減速過程中到達x=x₀處位置時金屬桿的感應電動勢E為Bd

v 2 0 -2ax0

；
（2）回路中感應電流方向發生改變時，金屬桿在軌道上的位置為

v 2 0

2a

；
（3）若金屬桿質量為m，外力F隨金屬桿在x軸上的位置（x）變化關系的表達式為：
在金屬桿沿x軸正方向運動的過程中，F=ma-

B2d2 v 2 0 -2ax

R+r

；在金屬桿沿x軸負方向運動的過程中，F=ma+

B2d2 v 2 0 -2ax

R+r

．

點評：本題是電磁感應與運動學和動力學知識的綜合應用，要防止只研究金屬桿沿x軸正方向運動過程，造成漏解．