Question

天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統在銀河系中很普遍．經觀測某雙星系統中兩顆恒星A、B圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T．已知恒星A、B之間的距離為L，A、B的質量之比2：1，萬有引力常量為G，求：
（1）恒星A做勻速圓周運動的軌道半徑R_A；
（2）雙星的總質量M．

Answer 1

分析：這是一個雙星的問題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題．

解答：解：（1）如圖，
設雙星中質量為m₁的天體軌道半徑為R_A，質量為m₂的天體軌道半徑為R_B
據萬有引力定律和牛頓第二定律，得：G

m1m2

L2

=m1ω2RA----①
G

m1m2

L2

=m2ω2RB----②
R_A+R_B=L----③
由①②③聯立解得：RA=

m2

m1+m2

L=

1

2+1

L=

1

3

L
（2）根據萬有引力提供向心力：G

m1m2

L2

=m1(

2π

T

)2RA 得
則m1+m2=

4π2L3

GT2

即雙星的總質量M=

4π2L3

GT2

答：（1）恒星A做勻速圓周運動的軌道半徑R_A為

1

3

L．
（2）雙星的總質量M為

4π2L3

GT2

．

點評：本題是雙星問題，與衛星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關鍵抓住條件：相同的角速度和周期．