Question

【題目】如圖甲所示，三個物體A、B、C靜止放在光滑水平面上，物體A、B用一輕質彈簧連接，并用細線拴連使彈簧處于壓縮狀態，此時彈簧長度L=0.1m；三個物體的質量分別為mA=0.1kg、mB=0.2kg和mC=0.1kg．現將細線燒斷，物體A、B在彈簧彈力作用下做往復運動（運動過程中物體A不會碰到物體C）．若此過程中彈簧始終在彈性限度內，并設以向右為正方向，從細線燒斷后開始計時，物體A的速度時間圖象如圖乙所示．求：

（1）物體B運動速度的最大值；
（2）從細線燒斷到彈簧第一次伸長到L1=0.4m時，物體B運動的位移大小；
（3）若在某時刻使物體C以vC=4m/s的速度向右運動，它將與正在做往復運動的物體A發生碰撞，并立即結合在一起，試求在以后的運動過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于物體A、B與輕質彈簧組成的系統，當燒斷細線后動量守恒，設物體B運動的最大速度為vB，有：

mAvA+mBvB=0

vB=﹣ =﹣ vA，

由圖乙可知，當t= 時，物體A的速度vA達到最大，vA=﹣4m/s

則 vB=2m/s

即物體B運動的最大速度為2m/s，

答：物體B運動速度的最大值為2m/s

（2）解：設A、B的位移大小分別為xA、xB，瞬時速度的大小分別為v′A、v′B

由于系統動量守恒，則在任何時刻有：mAv′A﹣mBv′B=0

則在極短的時間△t內有：mAv′A△t﹣mBv′B△t=0

mAv′A△t=mBv′B△t

累加求和得：mA∑v′A△t=mB∑v′B△t

mAxA=mBxB

xB= ，xA= xA

依題意：xA+xB=L1﹣L

解得：xB=0.1m

答：從細線燒斷到彈簧第一次伸長到L1=0.4m時，物體B運動的位移大小為0.1m

（3）解：因水平方向系統不受外力，故系統動量守恒，因此，不論A、C兩物體何時何處相碰，三物體速度相同時的速度是一個定值，總動能也是一個定值，且三個物體速度相同時具有最大彈性勢能．

設三個物體速度相同時的速度為v共，

依據動量守恒定律有：mCvC=（mA+mB+mC）v共，

解得：v共=1m/s

當A在運動過程中速度為4m/s，且與C同向時，跟C相碰，A、C相碰后速度v1=vA=vC，設此過程中具有的最大彈性勢能為E1，

由能量守恒得：E1= （mA+mC）v12+ mB ﹣ （mA+mB+mC） =1.8J

當A在運動過程中速度為﹣4m/s時，跟C相碰，設A、C相碰后速度為v2，由動量守恒：

mCvC﹣mAvA=（mA+mC）v2，

解得：v2=0

設此過程中具有的最大彈性勢能設為E2

由能量守恒：E2= （mA+mC）v22+ mBvB2﹣ （mA+mB+mC）v共2=0.2J

由上可得：彈簧具有的最大彈性勢能Epm的可能值的范圍：0.2J≤Epm＜1.8J．

答：在以后的運動過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍為0.2J≤Epm＜1.8J．

【解析】（1）對于物體A、B與輕質彈簧組成的系統，燒斷細線后系統的動量守恒，當A的速度最大時，B的速度也最大，由圖讀出A的最大速度，即可求得B運動速度的最大值；（2）根據A、B系統的動量守恒列式，結合在極短的時間△t內位移等于速度與時間△t的乘積，得到A、B位移xA、xB關系，依題意：xA+xB=L1﹣L，聯立即可求得物體B運動的位移大小；（3）A、B、C組成的系統動量守恒，可知三物體速度相同時的速度是一個定值，總動能也是一個定值，此時彈性勢能最大．當A與C同向相撞和反向相撞時，根據系統的動量守恒和能量守恒列式求解．
【考點精析】利用動量守恒定律對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知動量守恒定律成立的條件：系統不受外力或系統所受外力的合力為零；系統所受的外力的合力雖不為零，但系統外力比內力小得多；系統所受外力的合力雖不為零，但在某個方向上的分量為零，則在該方向上系統的總動量的分量保持不變．