Question

（2012?閔行區三模）如圖所示，足夠長的光滑導軌ab、cd 固定在豎直平面內，導軌間距為l，b、c兩點間接一阻值為R的電阻．ef是一水平放置的導體桿，其質量為m、電阻值為2R，桿與ab、cd 保持良好接觸．整個裝置放在磁感應強度滿足B=B₀+ky的非勻強磁場中，磁場方向與導軌平面垂直．現用一豎直向上的力拉導體桿，使導體桿由y=0從靜止開始做加速度為

g

2

的勻加速運動，在金屬桿ef上升了h高度的過程中，bc間電阻R產生的焦耳熱為Q．重力加速度為g，不計導軌電阻及感應電流間的相互作用．求：
（1）導體桿上升高度h過程中拉力做的功；
（2）導體桿上升到h時所受拉力F的大小；
（3）導體桿上升到h過程中通過桿的電量．

Answer 1

分析：（1）由運動學公式求出ef導體桿上升高度h時的速度，由焦耳定律求出導體桿上產生的焦耳熱．導體桿ef克服安培力做功等于整個電路中產生的焦耳定律，根據動能定理求解拉力做的功；
（2）導體桿上升到h時，由歐姆定律求出回路中的感應電流，由F=BIL求出此時導體桿所受的安培力，由牛頓第二定律求解所受拉力F的大小；
（3）由法拉第電磁定律和歐姆定律推導出感應電量q，得到q=q=

△Φ

3R

，作出BL-y圖象，圖象的“面積”等于△Φ，即可求出電量．

解答：解：（1）設ef導體桿上升高度h，速度為v₁，由運動學公式得：v₁=

2ah

=

gh

．
bc間電阻R產生的焦耳熱為Q，導體桿的電阻值為2R，則金屬桿上產生的焦耳熱為2Q，根據功能關系可知，導體桿ef克服安培力做功為W_安=3Q．
由動能定理得  W_F-mgh-W_安=

1

2

m

v

2 1

解得，W_F=

3

2

mgh+3Q．
（2）設導體桿上升到h時拉力為F，根據閉合電路歐姆定律得
   I₁=

Bylv1

3R

=

(B0+kh)l gh

3R

桿所受的安培力為 F_A=B_yI₁l=

(B0+kh)2l2 gh

3R

根據牛頓第二定律得
   F-mg-F_A=ma
綜合各式得  F=

3

2

mg+

(B0+kh)2l2 gh

3R

．
（3）由閉合電路歐姆定律得

.

I

=

. E

3R

由法拉第電磁感應定律得

.

E

=

△Φ

△t

通過桿的電量  q=

.

I

?△t=

△Φ

3R

因為B與y成線性關系，可畫出BL-y圖象如圖所示，可求得△Φ=

1

2

[B₀L+（B₀+kh）L）h]
則解得，q=

(2B0+kh)lh

6R

答：
（1）導體桿上升高度h過程中拉力做的功為

3

2

mgh+3Q．；
（2）導體桿上升到h時所受拉力F的大小為

3

2

mg+

(B0+kh)2l2 gh

3R

．；
（3）導體桿上升到h過程中通過桿的電量為

(2B0+kh)lh

6R

．

點評：本題綜合性很強，一是推導安培力的表達式，二推導通過導體桿的電量，作出BL-y圖象，由幾何知識求出電量是本題的關鍵．